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거시경제학 #2 - 금리

화폐는 중앙 은행이 찍어 낸 지폐와 동전을 말합니다. 모든 사람들에게 지폐와 동전을 얼마나 가지고 있냐고 물어 보고 다 더해 보면 화폐의 총량을 알 수 있습니다. 그런데 질문을 바꿔서 가진 돈이 얼마냐고 물어 보면 화폐의 총량보다 훨씬 많을 겁니다. 화폐 말고도 은행에 맡겨둔 예금이 있기 때문입니다.지급 준비금은행은 고객이 맡긴 예금으로 대출 영업을 할 수 있습니다. 고객이 한꺼번에 예금 전부를 빼는 일은 없으니까요. 그렇다고 고객이 예금한 돈을 몽땅 빌려 줄 수는 없습니다. 고객이 예금을 전혀 빼지 않는 건 또 아니니까요. 그래서 은행들은 고객들의 지급 요구에 대비하여 항상 예금의 일부를 준비하고 있습니다. 이렇게 대출하지 않고 남겨 놓은 돈을 지급 준비금이라고 합니다. 가령 내가 은행에 만원을 넣어 ..

물가 지수, 실업율, 금리, 통화량 등 거시 경제 변수와 관련된 기사가 나올 때마다 주가가 큰 영향을 받습니다. 게다가 최근에는 트럼프 대통령이 밀어 부치는 관세 정책이 오락가락하면서 주가가 지옥과 천당을 오갔습니다. 주식 투자를 하려면 경제 상식은 있어야겠다는 생각이 들었습니다. 시험을 칠 것도 아닌데 학문적 지식보다는 세상을 이해하는 지혜가 생겼으면 하는 바램으로 틈틈이 맨큐의 거시경제학을 읽고 있습니다. 책을 다 읽었을 때 경제 기사를 술술 읽을 수 있는 수준이 되었으면 좋겠습니다. 그래서 중간 중간에 실제 경제 기사를 같이 읽어 보는 포스팅도 끼워 넣으려고 합니다. 화폐의 수량시장에 돈이라고는 백원짜리 동전 딱 100개만 있고, 반드시 저 100개로만 거래할 수 있다고 가정합시다. 이런 상황에서..

브라운 운동의 보간법예전에 살펴 보았던 브라운 운동(위너 과정)을 잠시 떠올려 봅시다. 브라운 운동은 본질적으로 동전 던지기입니다. 동전을 던져서 앞면이 나오면 앞으로 한 걸음, 뒷면이 나오면 뒤로 한 걸음 걸어 보는 겁니다. 한 시간에 동전을 한 번만 던진다면 $t$시간 후의 위치는 이렇게 됩니다. $$\begin{aligned}W_1(0)&=0\\W_1(1)&=W_1(0)+\frac{x_1}{\sqrt{1}}=x_1\\W_1(2)&=W_1(1)+\frac{x_2}{\sqrt{1}}=x_1+x_2\\&...\\W_1(t)&=x_1+x_2+...+x_t=\sum_{i=1}^{t} x_i\\\end{aligned}$$여기서 $x_i$는 동전 던지기 확률 변수이지만 표준 정규 확률 변수를 사용해도 됩니다. ..

모든 주식의 수익율이 완전히 따로 놀지는 않습니다. 어떤 주식끼리는 같은 방향으로 움직이기도 하고, 또 어떤 주식들은 서로 다른 방향으로 움직이기도 할 겁니다. 주식 A의 수익율이 브라운 운동을 한다고 가정하면 주가의 흐름을 만들어 낼 수 있습니다. 주식 B도 마찬가지입니다. 그런데 이렇게 만들어 낸 주가의 흐름은 서로 아무런 관련이 없습니다. 만약 주식 A와 B의 수익율 간에 어떤 상관 관계가 있다면 주가의 흐름들도 이를 반영할 수 있어야 합니다.분산-공분산 행렬확률 변수들 사이의 공분산은 행렬로 표현할 수 있습니다. 다음은 세 개의 확률 변수 $X_1$, $X_2$, $X_3$ 사이의 공분산을 나타낸 행렬입니다. $Cov(a,b)=Cov(b,a)$이므로 좌상에서 우하로 그은 대각선을 기준으로 상하 대..

레버리지 펀드의 수익율은 기초 지수(underlying index) 수익율의 2배나 3배를 목표로 합니다. 인버스 펀드인 경우에는 목표가 -1배이고, 이 두 가지가 결합된 인버스 레버리지 펀드인 경우에는 -2배나 -3배입니다. 여기서 절대 잊어서는 안될 사실은 수익율이 하루(daily) 수익율이라는 것입니다. 하루를 넘어가면 펀드의 수익율이 펀드의 목표와 일치하지 않습니다. 예컨대 지난 한 달 동안 S&P 500 지수의 수익율이 10%였다고 해서 3x 레버리지 펀드의 한 달 수익율이 30%가 되는 것이 아닙니다.아래 표는 3x 레버리지 펀드의 5일간 성적입니다(주석 1). 매일 기초 지수 수익율의 3배를 충실히 따라 갔지만 5일 동안 수익율은 2.8배 정도에 그쳤습니다. 물론 어떤 경우에는 3배가 넘을 ..

풋 옵션풋 옵션은 주식을 팔 수 있는 권리입니다. 콜 옵션과는 반대로 주가가 행사 가격보다 낮을수록 만기 가치가 커집니다. 예를 들어 1달이 지난 시점에 100원을 받고 주식 1주를 팔 수 있는 풋 옵션이 있다고 합시다. 한 달 후의 주가가 50원이 되었다면 이 옵션을 가진 사람은 권리를 행사할 겁니다. 100원을 받고 50원 짜리 주식을 팔면 50원 이득이기 때문입니다. 반면에 한 달 후의 주가가 200원이면 그냥 권리를 포기하는 것이 이득입니다. 200원 짜리 주식을 100원을 받고 팔 수는 없으니까요. 행사 가격($K$)이 만기 시점($t$)의 주가($S_t$) 보다 높은 만큼 이득이지만 행사 가격이 주가가 낮아도 높아도 손해는 없습니다. 따라서 만기 시점의 풋 옵션 가치는 이렇게 표현할 수 있습니..

이번 포스팅은 Binomial option pricing and Black-Scholes(John Thickstun)의 내용도 참고하여 작성하였습니다.블랙-숄즈 모형현재 주가가 $S$, 행사 가격이 $K$, 만기가 $t$년 후인 콜 옵션의 가치를 구하는 블랙-숄즈의 공식은 이렇게 생겼습니다. 블랙-숄즈의 공식이 어떻게 나온 것인지는 잘 모르겠지만 그 밑에 있는 이항 모형의 공식과 많이 닮았다는 것은 알 수 있습니다.$$C=S\cdot N(d_1)-Ke^{-rt}\cdot N(d_2)$$$$C=S\cdot B(a;nt,\rho)-Ke^{-rt}\cdot B(a;nt,\pi)$$여기서 $N(\cdot)$은 표준 정규 분포의 누적 분포 함수(Cumulative Distribution Function)입니다. ..

2-기간 이항 모형2-기간 모형은 1-기간 모형의 확장입니다. 아래 그림을 보면 바로 느낌이 올 겁니다. 2-기간 모형은 3개의 1-기간 모형으로 이루어져 있습니다.2-기간이 지나 만기가 되었을 때 콜 옵션 가치는 아래와 같습니다.$$\begin{aligned}C_{uu}&=\max(0,u^2S-K)\\C_{ud}&=\max(0,udS-K)\\C_{dd}&=\max(0,d^2S-K)\end{aligned}$$$C_{uu}$, $C_{ud}$, $C_{dd}$를 구했으면 1-기간 모형을 사용하여 $C_u$와 $C_d$를 구할 수 있습니다.$$C_u=e^{-r}(\pi C_{uu}+(1-\pi) C_{ud})\tag{1}$$$$C_d=e^{-r}(\pi C_{ud}+(1-\pi) C_{dd})\tag{2}$..

옵션옵션은 어떤 주식을 사거나 팔 수 있는 권리를 말합니다. 살 수 있는 권리를 콜 옵션(call option), 팔 수 있는 권리를 풋 옵션(put option)이라고 합니다. 권리가 행사되었을 때 사거나 팔 주식은 미리 정해 놓습니다. 이 주식을 기초 자산(underlying asset)이라고 합니다. 물론 기초 자산이 주식이 아닌 옵션들도 있습니다. 권리를 행사하여 주식을 사거나 팔 수 있는 시점 및 가격 역시 미리 정해 놓습니다. 권리를 행사하기로 미리 정한 시점을 행사 시점(exercise date), 권리를 행사할 때 주거나 받기로 미리 정한 가격은 행사 가격(strike price)이라고 합니다. 행사 시점이 지나면 권리를 행사할 수 없기 때문에 행사 시점을 다른 말로는 만기라고 합니다.예를..

들어가며이번 포스팅은 "The (Mis)Behavior of Markerts"에 나오는 이야기로 시작할까합니다. 1973년 4월 26일 시카고 상품 거래소(The Chicago Board of Trade)에서 주식 옵션의 거래가 시작되었습니다. 물론 그전에도 주식 옵션은 있었습니다. 장외에서만 거래되다가 처음으로 거래소에서 사고 팔 수 있게 된 것이죠. 이날 거래되었던 옵션 중에는 제록스 주식을 석 달 뒤에 주당 160 달러에 살 수 있는 콜 옵션이 있었다고 합니다. 이 콜 옵션의 가격은 주당 5.5 달러였습니다. 한편 이날 뉴욕 증시에서 제록스의 주가는 149 달러였고 석 달 후에 160 달러를 넘지 못하면서 결국 이 콜 옵션은 행사되지 못했다고 합니다. 5.5 달러를 날린 거죠. 하지만 콜 옵션 대신..