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회귀 계수 $\widehat{\beta}_1$은 관찰된 표본에서 나온 값입니다. 회귀 계수를 구해 보면 당연히 표본마다 다를테지만 기대값이 있을 것이고 그 값을 중심으로 흩어져 있을 것입니다. 회귀 계수의 기대값과 분산을 구해 보면 다음과 같습니다(주석 (1)).$$\begin{aligned}E(\widehat{\beta}_1)&=\beta_1\\Var(\widehat{\beta}_1)&=\frac{\sigma^2}{\sum(x_i-\overline{x})^2}\end{aligned}$$그리고 회귀 계수 $\widehat{\beta}_1$는 정규 분포를 따른다고 합니다. 회귀 계수는 $x$가 변할 때 $y$가 변하는 정도인데 $x$는 상수 취급이고 $y$가 정규 분포를 따르니까 그런 것 같기는 합니다.$..

t-분포확률 변수 $x$가 표준 정규 분포를 따르고, 확률 변수 $y$는 자유도가 $\nu$인 카이 제곱 분포를 따른다고 할 때, 확률 변수 $\frac{x}{\sqrt{y/\nu}}$는 자유도가 $\nu$인 t-분포(t-distribution)를 따른다고 합니다. $$x \sim N(0,1)$$$$y \sim \chi_{\nu}^2$$$$t=\frac{x}{\sqrt{y/\nu}} \sim t_{\nu}$$t-분포는 표준 정규 분포와 마찬가지로 평균이 0이고 좌우 대칭입니다. t-분포를 따르는 확률 변수의 분산은 $\frac{\nu}{\nu-2}(\nu>2)$이라고 하는데 이 값은 1보다 큽니다. 따라서 표준 정규 분포보다는 봉우리가 낮고 양 끝이 높은 분포가 됩니다. 하지만 t-분포는 자유도가 커질수..