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3차 스플라인 법으로 값들을 넣다보면 부자연스러운 값들이 생길 수가 있다고 합니다. 그래서 VIX 계산에 필요한 무위험 이자율을 삽입할 때에는 위, 아래로 경계를 둔다고 합니다. 이번 포스트에서는 VIX의 수학적 방법론에 나오는 상,하 경계를 설정하는 방법을 알아 보고 실제로 무위험 이자율을 계산하여 보겠습니다.경계가 있는 3차 스플라인 법아래 그림은 두 점 $P_{i-1}$과 $P_i$ 사이에 내삽된 값들의 상한(upper bound)과 하한(lower bound)을 보여줍니다. 두 점의 사이에 내삽된 점은 당연히 두 점 사이에 있는 것이 가장 자연스럽습니다.아래 그림은 $P_0$의 좌측에 외삽된 값들의 상한과 하한을 보여줍니다. 상한은 $P_0$ 보다 낮은 점들 중에서 $P_0$에 가장 가까운 $P_..

지난 포스트에서 자연스러운 3차 스플라인 법으로 세 점을 연결하여 보았습니다. 점의 개수가 하나 더 늘어나면 3차 함수가 하나 더 필요합니다. 3차 함수가 하나 늘어나면 미지수는 3개(1, 2, 3차항의 계수)가 늘어나므로 방정식도 3개가 더 늘어 납니다.가우스 소거법은 연립 일차 방정식의 해를 구하는 알고리즘으로 널리 알려져 있지만 미지수의 개수가 늘어나면 계산량이 너무 커지는 단점이 있다고 합니다. 다행스럽게도 "자연스러운 3차 스플라인 법"을 적용하는 과정에서 특수한 형태의 연립 일차 방정식이 만들어지는데 이 형태에서는 계산량이 크게 줄어든다고 합니다.3중 대각 행렬아래 연립 일차 방정식의 계수 행렬(Coefficient Matrix)은 우하향하는 3개의 대각선에 있지 않은 모든 값들이 전부 0입니..

VIX를 계산할 때 필요한 무위험 이자율은 기본적으로 미국 국채 수익율 자료를 이용합니다. 아래 자료는 VIX 백서에 예시로 등장하는 미국채 수익율 자료입니다. 그런데 내가 필요한 기간에 딱 맞는 자료는 없을 수 있습니다. 예를 들어 24일이나, 31일 짜리 국채 수익율이 필요하다면 어떻게 구해야 할까요?위의 표에는 1월 ~ 30년 사이의 자료 12개가 제시되어 있습니다. 24일은 이 구간의 밖에 있고 31일은 1개월과 2개월 사이에 있습니다. 표에 없는 자료를 구하려면 어떻게든 구간의 밖 그리고 사이를 채워 넣어야 합니다. 구간의 밖에 있는 자료를 채워 넣는 방법을 외삽법(extrapolation), 구간의 사이를 채워 넣는 방법을 내삽법(interpolation)이라고 합니다. 외삽은 외부를 보충한다..

이번 시리즈, "변동성 지수"를 시작하면서 미처 들어 가는 글을 넣지 못했습니다. 이미 올린 글을 수정하기는 좀 그래서 시리즈를 마무리하는 글에 넣어 봅니다.주가의 움직임을 설명하는 이론을 보면 (주식 수익율의) 변동성이 주가에 미치는 영향이 절대적이라서 시장의 향후 변동성에 관심이 갈 수 밖에 없습니다. 거래소들이 주식 시장의 변동성 지수를 계산하여 발표하는 이유도 아마 여기에 있지 싶습니다. 시카고옵션거래소(CBOE, Chicago Board Options Exchange)가 계산하여 발표하는 VIX(Volatility Index)는 이러한 변동성 지수들의 원조격인 지수입니다. 한국거래소가 발표하는 VKOSPI 역시 VIX를 벤치마크하고 있습니다.VIX는 S&P 500 지수(SPX)의 "향후 30일 ..

선도 계약선도 계약(forward contract)은 기초 자산을 미리 정한 가격으로 미래 어느 시점에 사고 팔기로 약정한 계약을 말합니다. 옵션과 비슷한 것 같지만 불리하면 행사하지 않아도 그만인 옵션과는 달리 선도 계약은 무조건 이행해야 합니다. 선도 계약에서는 미리 정한 행사 가격을 선도 가격(forward price)이라고도 합니다. 그런데 선도 가격은 얼마가 되어야 적정할까요?지금 시장에서 형성된 선도 가격과 현물 가격을 각각 $F_0$, $S_0$ 이라고 합시다. 지금 현물을 매수하는 동시에 선도 계약을 매도한 어떤 사람이 있습니다. 이 사람은 만기 시점에서 주가가 어떻게 되든 $F_0$을 받고 현물을 팔 수 있습니다. 또 어떤 사람은 현물을 사는 대신에 같은 돈을 무위험 이자율, $r$로 대..

로그 계약은 실제로는 존재하지 않지만 카-마단 공식(Carr-Madan Formula)을 이용하여 복제할 수 있다고 합니다.카-마단 공식카-마단 공식은 테일러 전개의 특수한 경우라고 합니다. 공식의 유도는 테일러 전개로부터 시작됩니다. 아래 테일러 전개 식에서 우변의 마지막 항을 변형하여 봅시다.$$f(x) = f(a)+f'(a)(x-a)+\int_a^x(x-t)f''(t)dt\tag{1}$$먼저 특별한 함수 $H$를 하나 도입하겠습니다. $H$는 값이 0에서 1로 갑자기 튀는 함수인데요 이런 함수를 헤비사이드 함수(Heaviside function) 라고 합니다.$$H(x) = \begin{cases} 0, & x $$함수 $H$의 다음과 같은 성질을 이용하면$$H(x)+H(-x)=1\tag{2}$$식..

주가 시뮬레이션주가가 기하 브라운 운동을 한다고 가정하고 주가의 움직임을 시뮬레이션하여 봅시다. 필요한 변수의 설명은 아래와 같습니다.$\mu$ : 1년 로그 수익율(연속 복리 수익율)의 기대값$\sigma$ : 1년 로그 수익율의 표준편차$\sigma^2$ : 1년 로그 수익율의 분산$n$ : 1년을 균등하게 분할한 기간의 개수$\Delta t$ : 균등하게 분할된 기간의 길이, ${1 \over n}$년$S_i$ : $i$ 번째 기간의 주가$T$ : 년 단위로 표현한 시점, $i$ 번째 기간을 년으로 표현하면 $T=i\cdot\Delta t$ 년이 됩니다.주가가 기하 브라운 운동을 하면 매 기간의 주식 수익율이 다음과 같이 확률적으로 결정됩니다.$$\frac{S_i-S_{i-1}}{S_{i-1}}=\..

이번 포스트는 "How Did Gauss Derive The Normal Distribution?"을 옮긴 글입니다.수 백년 전 천문학자들은 행성의 위치를 정확히 관측하려고 애를 많이 썼습니다. 하지만 그 시절 관측 값에는 언제나 오차가 있을 수 밖에 없었습니다. 관측할 때마다 오차는 매 번 달라졌지만 행성이 있을 가능성이 가장 높은 위치를 하나 찍어서 대표 값으로 제시할 필요가 있었습니다. 행성의 위치를 대표하는 값으로 무엇을 사용해야 할까요?사람들은 자연스럽게 관측 오차를 살펴 보았을 겁니다. 갈릴레오는 오차에 어떤 패턴이 있음을 인지한 최초의 사람으로 여겨집니다. 갈릴레오는 그때까지 축적된 관측 값을 토대로 아래 두 가지 가정을 제시했습니다.관측 값은 정확한 값을 기준으로 대칭적으로 분포한다.큰 오..

마크 스피츠나겔(Mark Spitznagel)의 책 "Safe Haven"("우산을 든 투자자")에는 이런 구절이 있습니다. 여기서 한 꼬집의 소금과(a pinch of salt) 같다는 "그것"은 보험입니다.It's like a pinch of salt—just a pinch becomes the most important ingredient to the dish, whereas more than a pinch ruins it. 그것은 한 꼬집의 소금과 같다—딱 한 꼬집이 가장 중요한 요리의 재료가 된다. 그러나 한 꼬집 보다 많으면 요리를 망친다.이 책의 부제도 재미있습니다. "Investing for Financial Storms", "금융 폭풍에 대비하라"는 말이기도 하고 "금융 폭풍에 투자하라"..

이번 포스트에서는 먼저 주식 수익율의 확률 분포를 알아 보고, 수익율의 변동성이 돈을 벌 확률에 어떤 영향을 미치는지 살펴 보도록 하겠습니다.로그 정규 분포어떤 확률 변수 $Y$가 정규 분포를 따를 때 $Y$의 지수 함수 값, $e^Y$이 따르는 확률 분포를 로그 정규 분포(log normal distribution)라고 합니다.$$Y \sim N(m,v) \iff e^Y \sim Lognormal(m,v)$$거꾸로 생각하면 $X$의 로그 함수 값, $\ln(X)$가 정규 분포를 따른다면 확률 변수 $X$는 로그 정규 분포를 따릅니다.$$\ln(X) \sim N(m,v) \iff X \sim Lognormal(m,v)\quad\because e^{\ln(X)}=X$$여기서 헷갈리면 안되는 것은 $m$과 ..