브라운 운동의 보간법
예전에 살펴 보았던 브라운 운동(위너 과정)을 잠시 떠올려 봅시다. 브라운 운동은 본질적으로 동전 던지기입니다. 동전을 던져서 앞면이 나오면 앞으로 한 걸음, 뒷면이 나오면 뒤로 한 걸음 걸어 보는 겁니다. 한 시간에 동전을 한 번만 던진다면 $t$시간 후의 위치는 이렇게 됩니다.
$$\begin{aligned}
W_1(0)&=0\\
W_1(1)&=W_1(0)+\frac{x_1}{\sqrt{1}}=x_1\\
W_1(2)&=W_1(1)+\frac{x_2}{\sqrt{1}}=x_1+x_2\\
&...\\
W_1(t)&=x_1+x_2+...+x_t=\sum_{i=1}^{t} x_i\\
\end{aligned}$$
여기서 $x_i$는 동전 던지기 확률 변수이지만 표준 정규 확률 변수를 사용해도 됩니다. 그런데 두 시간 반 후의 위치는 어디라고 말할 수 있을까요? 한 시간에 동전을 두 번씩 던졌더라면 아래와 같이 바로 말할 수 있었을 겁니다.
$$
W_2(2.5)=\frac{x_1}{\sqrt{2}}+\frac{x_2}{\sqrt{2}}+\frac{x_3}{\sqrt{2}}+\frac{x_4}{\sqrt{2}}+\frac{x_5}{\sqrt{2}}
$$
하지만 이미 동전을 던졌기 때문에 이미 결정된 위치는 그대로 두고 두 시점 사이의 중간을 채워 넣어야 합니다(보간, interpolation). 가장 먼저 드는 생각은 두 시간 후 위치와 세 시간 후 위치의 중간이라고 말하는 겁니다.
$$
W_1(2.5)=\frac{1}{2}W_1(2)+\frac{1}{2}W_1(3)
$$
그런데 이렇게 정한 위치는 우연히 결정된 것이 아니라서 브라운 운동이라 말할 수 없습니다. 선형 보간법(linear interpolation)을 사용할 수는 없다는 것입니다. 그렇다면 이 방법은 어떨까요?
$$
W_1(2.5)=W_1(2)+\frac{x}{\sqrt{2}}
$$
이렇게 정한 위치는 확률적으로 결정된 것이기는 하지만 이것 역시 브라운 운동이라고 말할 수는 없습니다. 브라운 운동에서 $t$ 시간 후의 위치 $W_n(t)$는 분산이 $t$가 되는 정규 확률 변수입니다.
$$W_n(t) \sim N(0,t)
$$
또한 $s$ 시간 후와 $t$ 시간 후의 위치 차이는 - 시점 $s$와 $t$ 사이의 위치 변화량은 - 분산이 $t-s$가 되는 정규 확률 변수입니다$(t>s)$.
$$W_n(t)-W_n(s) \sim N(0,t-s)
$$
따라서 아래와 같이 되어야 브라운 운동이라고 말할 수 있습니다. 하지만 실제로 구해보면 그렇지 않습니다(주석 (1)).
$$Var(W_1(2.5)-W_1(2))=Var(W_1(3)-W_1(2.5))=0.5$$
브라운 다리
두 시점 사이의 중간을 채워 넣는 올바른 보간법은 아래와 같습니다(주석 (2)).
$$
W_1(2.5)=\frac{1}{2}W_1(2)+\frac{1}{2}W_1(3)+\frac{x}{\sqrt{4}}\tag{1}
$$
그림으로 그려 보면 이렇습니다. 두 위치 A, B를 잇는 직선의 중간 값에 확률 변수 $\frac{x}{\sqrt{4}}$를 더하는 겁니다. 이 확률 변수는 평균이 0, 분산이 1/4인 정규 분포를 따릅니다. $x$가 표준 정규 확률 변수이기 때문입니다.
이런 식으로 두 시점 사이를 계속 채워 나가면 떨어져 있던 두 곳이 다리로 연결됩니다. 그래서 이 방법을 브라운 다리(Brownian Bridge)라고 부릅니다.
이제 거꾸로 처음부터 브라운 다리가 먼저 있었다고 생각해 봅시다. 처음부터 있었다면 브라운 다리가 아니라 브라운 운동이라고 해야겠군요. 처음부터 한 시간에 동전을 $n$번 던졌다고 생각하는 겁니다. 아래 그림은 위의 브라운 다리가 원점에서 시작하도록 평행 이동만 한 겁니다.
위의 그림에서 $B_n(t)$를 브라운 다리라고 부릅니다. 브라운 다리는 $B_n(0)=B_n(1)=0$이 됩니다. 그리고 브라운 다리의 평균과 분산은 다음과 같습니다(주석 (3)).
$$
B_n(t)=W_n(t)-W_n(1)\cdot t\quad (0 \leq t \leq 1)
$$
$$
E(B_n(t))=0\
$$
$$
Var(B_n(t))=t(1-t)
$$
그리고 $W_n(t)$가 정규 확률 변수이므로 $B_n(t)$ 역시 정규 확률 변수가 됩니다.
$$
B_n(t) \sim N(0,t(1-t))
$$
$$
\therefore B_n(t) = \sqrt{t(1-t)} \cdot x\quad (x \sim N(0,1))
$$
이제 어떤 두 점이 주어지더라도 그 두 점을 잇는 직선에 브라운 다리를 더하기만 하면 두 점의 사이가 브라운 운동으로 채워 집니다. 식 (1)을 일반화하면 식 (2)가 됩니다. 아래 식 (2)에 $t=2.5$를 대입하면 식 (1)이 된다는 것을 확인할 수 있습니다.
$$
W_1(t)=\underbrace{\frac{W_1(3)-W_1(2)}{3-2}t+3W_1(2)-2W_1(3)}_{line\ from\ A(2,W_1(2))\ to\ B(3,W_1(3))}+B(t-2)
$$
$$
\therefore W_1(t)=(3-t)W_1(2)+(t-2)W_1(3)+B(t-2)\tag{2}
$$
일반화된 브라운 다리
평균이 $\mu$이고 표준 편차가 $\sigma$인 일반화된 브라운 운동 $P_n(t)$는 다음과 같습니다.
$$
P_n(t)=\mu t+\sigma W_n(t)\tag{3}
$$
위의 식 (3)를 만족하는 두 점 $A(0,W_n(0))$, $B(T,W_n(T))$를 잇는 직선은 아래와 같습니다.
$$
\frac{P_n(T)-\cancel{P_n(0)}}{T}\cdot t=\frac{P_n(T)}{T}\cdot t\quad(0 \leq t \leq T)
$$
따라서 브라운 다리는 이렇게 놓을 수 있습니다. 평균이 얼마가 되든 아무런 상관이 없음을 알 수 있습니다.
$$\begin{aligned}
B_n(t)&=P_n(t)-\frac{P_n(T)}{T}\cdot t\\
&=\mu t+\sigma W_n(t)-\frac{t}{T}(\mu T+\sigma W_n(T))\\
&=\cancel{\mu t}+\sigma W_n(t)-\cancel{\mu t}-\frac{t}{T}\sigma W_n(T)\\
\end{aligned}$$
$$
\therefore B_n(t)=\sigma\left(W_n(t)-\frac{t}{T}W_n(T)\right)\tag{4}
$$
아래 그림은 식 (3)와 (4)을 사용하여 그린 브라운 운동과(옅은 회색) 브라운 다리(진한 회색) 각각 32개의 그래프입니다.
그리고 주석(3)을 참조하여 브라운 다리의 평균과 분산을 구해 보면 이렇게 됩니다.
$$
E(B_n(t))=0
$$
$$
Var(B_n(t))=\frac{t(T-t)}{T}\sigma^2
$$
$$
B_n(t) \sim N\left(0,\frac{t(T-t)}{T}\sigma^2\right)
$$
이제 두 점 $A(t_1,a)$과 $B(t_2,b)$ 사이에 다리를 놓아 봅시다. 편의 상 $t_2-t_1=T$라고 가정하겠습니다.
$$\begin{aligned}
B'_n(t)=B_n(t-t_1)+\underbrace{a+\frac{b-a}{T}t}_{line\ from\ A\ to\ B}\quad (t_1 \leq t \leq t_2)
\end{aligned}$$
그리고 평균과 분산은 이렇게 계산됩니다.
$$\begin{aligned}
E(B'_n(t))&=E\left(B_n(t-t_1)+a+\frac{b-a}{T}t\right)\\
&=\cancel{E(B_n(t-t_1))}+a+\frac{b-a}{T}t\\
&=a+\frac{b-a}{T}t
\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}
Var(B'_n(t))&=Var\left(B_n(t-t_1)+\cancel{a+\frac{b-a}{T}t}\right)\\
&=Var(B_n(t-t_1))\\
&=\frac{t(T-t)}{T}\sigma^2
\end{aligned}$$
주석
(1) 잘못된 보간
$$\begin{aligned}
Var(W_1(2.5)-W_1(2))&=Var\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\\
&=\frac{1}{2} \cdot Var(x)=0.5
\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}
Var(W_1(3)-W_1(2.5))&=Var\left(W_1(3)-W_1(2)-\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\\
&=Var(W_1(3)-W_1(2))+Var\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\\
&=1+0.5=1.5
\end{aligned}$$
$$\therefore Var(W_1(2.5)-W_1(2)) \neq Var(W_1(3)-W_1(2.5))$$
(2) 올바른 보간
$$\begin{aligned}
Var(W_1(2.5)-W_1(2))&=Var\left(\frac{1}{2}W_1(3)-\frac{1}{2}W_1(2)+\frac{x}{\sqrt{4}}\right)\\
&=\frac{1}{4}\cdot Var(W_1(3)-W_1(2))+\frac{1}{4}\cdot Var(x)\\
&=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=0.5
\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}
Var(W_1(3)-W_1(2.5))&=Var\left(W_1(3)-\left(\frac{1}{2}W_1(2)+\frac{1}{2}W_1(3)+\frac{x}{\sqrt{4}}\right)\right)\\
&=Var\left(\frac{1}{2}W_1(3)-\frac{1}{2}W_1(2)-\frac{x}{\sqrt{4}}\right)\\
&=\frac{1}{4}\cdot Var(W_1(3)-W_1(2))+\frac{1}{4}\cdot Var(x)\\
&=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=0.5
\end{aligned}$$
$$\therefore Var(W_1(2.5)-W_1(2))=Var(W_1(3)-W_1(2.5))=0.5$$
(3) 브라운 다리의 평균과 분산
브라운 운동의 $W_n(t)$의 평균은 0이고, 분산 $t$ 이므로 아래 식이 성립합니다.
$$\begin{aligned}
Var(W_n(t))&=E(W_n(t)^2)-\cancel{E(W_n(t))^2}=t\\
\end{aligned}$$
$$
\therefore E(W_n(t)^2)=t\tag{a}
$$
한편 $W_n(t_1)$과 $W_n(t_2)$의 공분산은 $t_1$이므로$(t_1<t_2)$ 아래 식이 성립합니다.
$$\begin{aligned}
Cov(W_n(t_1), W_n(t_2))&=E[W_n(t_1)\cdot W_n(t_2)]-\cancel{E[W_n(t_1)]\cdot E[W_n(t_2)]}\\
&=E[W_n(t_1)\cdot W_n(t_2)]\\
&=E[W_n(t_1)[W_n(t_2)-W_n(t_1)+W_n(t_1)]]\\
&=\cancel{E[W_n(t_1)]E[W_n(t_2)-W_n(t_1)]}+E[W_n(t_1)^2]\\
&=E[W_n(t_1)^2]\\
&=t_1
\end{aligned}$$
$$
\therefore E[W_n(t_1)\cdot W_n(t_2)]=t_1\tag{b}
$$
식 (a), (b)를 이용하여 브라운 다리의 평균과 분산을 구할 수 있습니다.
$$\begin{aligned}
E(B_n(t))&=E\left(W_n(t)-t \cdot W_n(1)\right)\\
&=\cancel{E(W_n(t))}-\cancel{t \cdot E\left(W_n(1)\right)}\\
&=0\\
Var(B_n(t))&=E(B_n(t)^2)-E(B_n(t))^2\\
&=E\left(\left(W_n(t)-t \cdot W_n(1)\right)^2\right)\\
&=E\left(W_n(t)^2-2t\cdot W_n(t)W_n(1)+t^2\cdot W_n(1)^2\right)\\
&=E(W_n(t)^2)-2t\cdot \cancel{E\left(W_n(t)W_n(1)\right)}+t^2\cdot E\left(W_n(1)^2\right)\\
&=t-2t+t^2\\
&=t(1-t)
\end{aligned}$$