레버리지 펀드의 장기 성과

레버리지 펀드의 수익율은 기초 지수(underlying index) 수익율의 2배나 3배를 목표로 합니다. 인버스 펀드인 경우에는 목표가 -1배이고, 이 두 가지가 결합된 인버스 레버리지 펀드인 경우에는 -2배나 -3배입니다. 여기서 절대 잊어서는 안될 사실은 수익율이 하루(daily) 수익율이라는 것입니다. 하루를 넘어가면 펀드의 수익율이 펀드의 목표와 일치하지 않습니다. 예컨대 지난 한 달 동안 S&P 500 지수의 수익율이 10%였다고 해서 3x 레버리지 펀드의 한 달 수익율이 30%가 되는 것이 아닙니다.

아래 표는 3x 레버리지 펀드의 5일간 성적입니다(주석 1). 매일 기초 지수 수익율의 3배를 충실히 따라 갔지만 5일 동안 수익율은 2.8배 정도에 그쳤습니다. 물론 어떤 경우에는 3배가 넘을 수도 있지만 최악의 경우에는 기초 지수가 올라도 펀드는 손실을 볼 수도 있습니다. 레버리지가 3x인데도 말입니다. 이러한 현상이 일어나는 이유는 무엇일까요?

	기초 지수	증감	증감율	레버리지	목표 수익율	순자산가치	수익
Day 0	100.0	-	-	x3	-	$100.0	-
Day 1	103.0	+3	+3.000%	x3	9.000%	$109.0	$9.0
Day 2	99.9	-3.1	-3.010%	x3	-9.029%	$99.2	-$9.8
Day 3	103.9	+4	+4.004%	x3	12.012%	$111.1	$11.9
Day 4	101.3	-2.6	-2.502%	x3	-7.507%	$102.7	-$8.3
Day 5	105.1	+3.8	+3.751%	x3	11.254%	$114.3	$11.6
5 days	-	+5.1	5.100%	x2.802	14.292%	-	$14.3

재투자 수익의 증폭 효과

아래 그림은 3일차까지 기초 지수의 성적을 분해한 것입니다. 주황색 마디(node)를 합하면 그날의 시초 가격이되고, 노란색 마디를 더하면 그날 지수의 증감이 됩니다. 예컨대, 3일차 기초 지수는 99.9에서 시작하여 4 포인트 오른 103.9에 마감했습니다. 이날 오른 4 포인트는 d, e, f, g의 합계입니다. 그리고 e, f, g는 수익이 재투자된 결과입니다. 특히 g는 a의 재투자 수익 c가 다시 재투자되어 얻은 수익입니다.

기초 지수의 성과 분해

한편 아래 그림은 3일차까지 펀드의 성적을 동일한 방식으로 분해한 것입니다.

3x 레버리지 펀드의 성과 분해

위의 두 그림에서 대응하는 마디끼리 비교하여 보면 펀드의 수익이 기초 지수 대비 얼마나 증폭되었는지를 알 수 있습니다. 예컨대 아래 그림에서 g가 의미하는 것은 기초 지수 대비 펀드의 수익이 27배$(\frac{-0.098}{-0.004}=27)$라는 겁니다.

기초 지수와 3x 레버리지 펀드의 성과 비교

레버리지 펀드에서는 수익의 재투자가 거듭되면서 레버리지의 거듭 제곱으로 수익이 증폭됩니다. 하루가 더 지난 4일차에 g가 재투자된 수익은 기초 지수 대비 81배($3^4=8$)가 될 겁니다. 이러한 증폭 효과 때문에 하루 보다 긴 기간 동안의 펀드 수익율은 펀드의 목표와 일치하지 않습니다.

변동성 잠식

주가가 10% 내려 갔다가 다시 10% 올라 와도 원래 주가로 회복되지 않고 1% 손실이 납니다. 주가의 하락 폭이 클수록 손실은 더욱 커집니다. 20% 내렸다가 20% 오르면 4% 손실, 30% 내렸다가 30%가 오르면 9% 손실이 납니다. 수익율($r$)의 제곱만큼 손실이 나는 겁니다. 레버리지 펀드의 위험은 바로 여기에 있습니다. 기초 지수가 10% 내렸다가 10% 오르면 기초 지수의 수익율은 -1%이지만, 2x 레버리지 펀드의 손실은 4배가 되고, 3x 레버리지 펀드의 손실은 9배가 됩니다.
$$(1-r)(1+r)-1=-r^2$$

아래 표는 오늘 기초 지수가 하락(상승)했을 때 내일은 얼마나 올라야(내려야) 원래 자리로 돌아오는 지를 보여 줍니다. 아래 표에서 알 수 있는 사실은 기초 지수가 제자리로 돌아와도 3x 펀드는 그렇지 않다는 겁니다. 게다가 하락폭이 클수록 펀드의 손실은 더욱 확대됩니다. 상승과 하락을 자주 반복해도 손실은 확대됩니다. 이렇게 기초 지수의 변동성이 클수록 손실이 확대되는 현상을 변동성 잠식(volatility decay)라고 합니다. 기초 지수의 변동성이 펀드의 성과에 얼마나 영향을 미칠까요?

변동성 잠식

기하 브라운 운동

기초 지수가 브라운 운동을 한다고 가정하면 하루 (로그) 수익율 $y_{index}$는 이런 확률 변수가 됩니다. 여기서 $\mu$는 기초 지수의 1년 기대 수익율을, $\sigma$는 그 변동성(표준 편차)을, $x$는 표준 정규 확률 변수를, $\mathrm{\Delta }t$는 하루를 의미합니다. 주식 세계에서는 1년을 장이 열리는 252일로 치니까 $\mathrm{\Delta }t=\frac{1}{252}$ 입니다.
$$y_{index}=\mu \cdot \mathrm{\Delta }t+\sigma \cdot x\cdot \sqrt{\mathrm{\Delta }t}$$

레버리지 펀드는 기초 지수의 하루 수익율에다가 2나 3 배수($L$)를 곱한 겁니다. 따라서 펀드의 하루 수익율은 이렇게 됩니다. 아래 식을 보면 레버리지 펀드는 기대 수익율도, 변동성도 레버리지 배수만큼 증폭된다는 사실을 알 수 있습니다.
$$y_{fund}=L\cdot y_{index}=(L\cdot \mu )\cdot \mathrm{\Delta }t+(L\cdot \sigma )\cdot x\cdot \sqrt{\mathrm{\Delta }t}$$

$t$년 후 기초 지수 및 펀드의 주가는(각각 $S_t$, $P_t$) 기하 브라운 운동 공식을 이용하여 계산할 수 있습니다(주석 2).
$$\begin{array}{}\text{(1)}& S_t=S_0\cdot exp((\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})+\sigma \cdot W_t)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{P}_t& =P_0\cdot exp((L\mu -\frac{L^2{\sigma }^2}{2})+L\sigma \cdot W_t)\\ & =P_0\cdot exp((L\mu -\frac{L{\sigma }^2}{2}+\frac{L{\sigma }^2}{2}-\frac{L^2{\sigma }^2}{2})+L\sigma \cdot W_t)\\ & =P_0\cdot exp((L\mu -\frac{L{\sigma }^2}{2})+L\sigma \cdot W_t+\frac{L{\sigma }^2}{2}-\frac{L^2{\sigma }^2}{2})\\ & =P_0\cdot exp{((\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})+\sigma \cdot W_t)}^L\cdot exp(\frac{L{\sigma }^2}{2}-\frac{L^2{\sigma }^2}{2})\\ & =P_0\cdot {\left(\frac{S_t}{S_0}\right)}^L\cdot exp\left(\frac{(L-L^2)\cdot {\sigma }^2}{2}\right)\because (1)\\ \\ & \therefore \frac{P_t}{P_0}={\left(\frac{S_t}{S_0}\right)}^L\cdot exp\left(\frac{(L-L^2)\cdot {\sigma }^2}{2}\right)\end{array}$$

최종적으로 펀드의 기대 수익율은 이렇게 됩니다.
$$\begin{array}{rl}E\left(\frac{P_t}{P_0}\right)& =E{\left(\frac{S_t}{S_0}\right)}^L\cdot exp\left(\frac{(L-L^2)\cdot {\sigma }^2}{2}\right)\\ & =exp(\mu t{)}^L\cdot exp\left(\frac{(L-L^2)\cdot {\sigma }^2}{2}\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \therefore E\left(\frac{P_t}{P_0}\right)\approx (1+\mu {)}^{tL}\cdot exp\left(\frac{(L-L^2)\cdot {\sigma }^2}{2}\right)\end{array}$$

다음 표는 위의 (2)를 이용하여 3x 펀드의 기대 수익율을 계산한 것입니다(주석 2). 녹색 영역은 펀드의 성적이 "기초 지수 x 레버리지 배수"보다 좋은 시나리오를, 빨간 영역은 그 반대인 시나리오를 나타냅니다. 가운데 검은 박스는 별 다른 의미는 없습니다. 아마도 가운데가 가장 일반적인 시나리오일 듯하여 표시하여 보았습니다.

다양한 시나리오에서 3x 레버리지 펀드의 1년 기대 수익율

주석

1. Proshares(r) Statutory Prospectus에 동일한 표가 수록되어 있습니다.
2. The Dynamics of Leveraged and Inverse Exchange-Traded Funds, Minder Cheng and Ananth Madhavan, 2009
3. Proshares(r) Statement of Addtional Information에 동일한 표가 수록되어 있습니다.