옵션 가격 모형 #4 - 블랙-숄즈 모형

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옵션 가격 모형 #4 - 블랙-숄즈 모형

horust 2025. 3. 1. 16:36

이번 포스팅은 Binomial option pricing and Black-Scholes(John Thickstun)의 내용도 참고하여 작성하였습니다.

블랙-숄즈 모형

현재 주가가 $S$ , 행사 가격이 $K$ , 만기가 $t$ 년 후인 콜 옵션의 가치를 구하는 블랙-숄즈의 공식은 이렇게 생겼습니다. 블랙-숄즈의 공식이 어떻게 나온 것인지는 잘 모르겠지만 그 밑에 있는 이항 모형의 공식과 많이 닮았다는 것은 알 수 있습니다.
$C = S \cdot N (d_{1}) - K e^{- r t} \cdot N (d_{2})$

$C = S \cdot B (a; n t, ρ) - K e^{- r t} \cdot B (a; n t, π)$

여기서 $N (\cdot)$ 은 표준 정규 분포의 누적 분포 함수(Cumulative Distribution Function)입니다. 누적 분포 함수는 확률 변수가 어떤 값보다 작거나 같은 확률을 알려 주는 함수입니다.

$\begin{aligned} N (d_{1}) & = p (z \leq d_{1}) \\ N (d_{2}) & = p (z \leq d_{2}) \end{aligned}$

그리고 $d_{1}$ 과 $d_{2}$ 의 값은 아래와 같다고 합니다.

$\begin{aligned} d_{1} & = \frac{\ln (S / K) + (r + σ^{2} / 2) t}{σ \sqrt{t}} \\ d_{2} & = \frac{\ln (S / K) + (r - σ^{2} / 2) t}{σ \sqrt{t}} \end{aligned}$

$n$ 을 무한대로 보냈을 때 $N (\cdot)$ 와 $B (\cdot)$ 의 값이 같다는 것을 증명하면 이항 모형이 무한의 세계에서는 블랙-숄즈 모형과 같다는 것이 증명됩니다.

$\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} B (a; n t, ρ) = N (d_{1}) \\ lim_{n \to \infty} B (a; n t, π) = N (d_{2}) \end{array}$

일단 드므와브르-라플라스 정리에 따라 $n$ 이 무한히 커지면 이항 분포는 정규 분포에 수렴하게 됩니다.
$j \sim B (n t, p) \overset{d}{\to} j \sim N (n t p, n t p (1 - p))$

그리고 $j$ 를 표준화한 확률 변수 $z$ 는 표준 정규 분포를 따르게 됩니다.
$z = \frac{j - n t p}{\sqrt{n t p (1 - p)}}$

$z \sim N (0, 1)$

따라서 동전을 $n t$ 번 던졌을 때 앞면이 $a$ 번 이상 나올 확률은 이렇게 됩니다.
$\begin{aligned} B (a; n t, p) & = p (j \geq a) \\ = p (z \geq \frac{a - n t p}{\sqrt{n t p (1 - p)}}) \\ = p (z \leq \frac{- a + n t p}{\sqrt{n t p (1 - p)}}) \\ = N (\frac{- a + n t p}{\sqrt{n t p (1 - p)}}) \\ = N (d_{?}) \end{aligned}$

괄호 안의 값을 $d_{?}$ 라고 하겠습니다. 이제 $p = ρ$ 일 때 $d_{?} = d_{1}$ 이 되고 $p = π$ 라면 $d_{?} = d_{2}$ 가 되는 것을 증명하면 됩니다.
$d_{?} = \frac{- a + n t p}{\sqrt{n t p (1 - p)}}$

기하 브라운 운동

증명에 들어 가기 전에 잠시 기하 브라운 운동을 복습해 보겠습니다. 주가가 기하 브라운 운동을 한다면 주식의 (로그) 수익율은 산술 브라운 운동을 합니다. 동전을 던져서 앞면이 나오면 $x_{i} = 1$ , 뒷면이 나오면 $x_{i} = - 1$ 입니다.
$\ln (S_{i} / S_{i - 1}) = μ \cdot Δ t + σ \cdot x_{i} \cdot \sqrt{Δ t}$

$\begin{aligned} E (\ln (S_{i} / S_{i - 1})) & = E (μ \cdot Δ t + σ \cdot x_{i} \cdot \sqrt{Δ t}) \\ = μ \cdot Δ t + σ \cdot \sqrt{Δ t} \cdot E (x_{i}) \\ = μ \cdot Δ t ∵ E (x_{i}) = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} V a r (\ln (S_{i} / S_{i - 1})) & = V a r (μ \cdot Δ t + σ \cdot x_{i} \cdot \sqrt{Δ t}) \\ = σ^{2} \cdot Δ t \cdot V a r (x_{i}) \\ = σ^{2} \cdot Δ t ∵ V a r (x_{i}) = 1 \end{aligned}$

1년에 동전을 $n$ 번 던지면 $Δ t = 1 / n$ 년입니다. 그리고 $t$ 년이면 동전을 $n t$ 번 던지게 됩니다. 그리고 동전 던지기는 모두 서로 독립입니다. 따라서 $t$ 년이 지났을 때 주식 수익율의 기대값과 분산은 이렇게 됩니다.

$\begin{aligned} \ln (\frac{S_{n t}}{S}) & = \ln (\frac{S_{1}}{S} \cdot \frac{S_{2}}{S_{1}} \cdot . . . \cdot \frac{S_{n t}}{S_{n t - 1}}) \\ = \ln (\frac{S_{1}}{S}) + \ln (\frac{S_{2}}{S_{1}}) + . . . + \ln (\frac{S_{n t}}{S_{n t - 1}}) \\ = \sum_{i = 1}^{n t} (\ln (S_{i} / S_{i - 1})) \\ ∴ E (\ln (\frac{S_{n t}}{S})) & = E (\sum_{i = 1}^{n t} (\ln (S_{i} / S_{i - 1}))) \\ = \sum_{i = 1}^{n t} E (\ln (S_{i} / S_{i - 1}))) \\ = n t \cdot μ \cdot Δ t \\ = μ t \\ V a r (\ln (\frac{S_{n t}}{S})) & = V a r (\sum_{i = 1}^{n t} (\ln (S_{i} / S_{i - 1}))) \\ = \sum_{i = 1}^{n t} V a r (\ln (S_{i} / S_{i - 1}))) \\ = n t \cdot σ^{2} \cdot Δ t \\ = σ^{2} t \end{aligned}$

한편 로그 수익율이 산술 브라운 운동을 한다면 기대 수익율이 수익율의 기대값 보다 크다는 것을 기억하고 계실 겁니다.

$\ln (E (\frac{S_{n t}}{S})) = (μ + \frac{σ^{2}}{2}) t > μ t$

이항 모형의 극한

주가의 움직임을 기하 브라운 운동으로 가정한다면 이항 모형의 상승 계수 $u$ 와 하락 계수 $d$ 는 이렇게 됩니다. 기하 브라운 운동과 이항 모형이 만나는 지점이 바로 여기입니다.

$\begin{aligned} \ln (u S / S) = \ln (u) & = μ Δ t + σ \sqrt{Δ t} \\ \ln (d S / S) = \ln (d) & = μ Δ t - σ \sqrt{Δ t} \end{aligned}$

그런데 기하 브라운 운동과는 달리 이항 모형에서는 실제 동전을 던져서 앞면이 나올 확률은 전혀 의미가 없습니다. 이미 살펴 보았듯이 이항 모형 그 어디에서도 실제 확률은 찾을 수 없습니다. 대신에 위험 중립 확률이라는 가상의 확률이 사용됩니다. 동전을 던져서 앞면이 나올 이 가상의 확률을 $p$ 라고 하면 1-기간 동안 수익율의 기대값은 이렇게 됩니다.

$\begin{aligned} E (\ln (S_{i} / S_{i - 1})) & = p \cdot (μ Δ t + σ \sqrt{Δ t}) + (1 - p) (μ Δ t - σ \sqrt{Δ t}) \\ = μ Δ t + (2 p - 1) σ \sqrt{Δ t} \\ =: μ^{'} Δ t \\ ∴ p & = \frac{μ^{'} Δ t - μ Δ t + σ \sqrt{Δ t}}{2 σ \sqrt{Δ t}} \end{aligned}$

그리고 만기가 되었을 때 수익율의 기대값은 이렇게 됩니다(주석 (2)).
$\begin{aligned} E (\ln (S_{n t} / S)) & = n t (p \cdot \ln (u / d) + \ln (d)) \\ = n t (p \cdot 2 σ \sqrt{Δ t} + μ Δ t - σ \sqrt{Δ t}) \\ = n t μ^{'} Δ t \\ = μ^{'} t \\ ∵ \ln (u / d) & = \ln (u) - \ln (d) \\ = μ Δ t + σ \sqrt{Δ t} - (μ Δ t - σ \sqrt{Δ t}) \\ = 2 σ \sqrt{Δ t} \end{aligned}$

복잡해 보이기는 하지만 1-기간 동안 수익율의 분산은 이렇게 계산됩니다(주석 (2)).
$\begin{aligned} V a r (\ln (S_{n t} / S)) & = n t p (1 - p) \cdot {(\ln (u / d))}^{2} \\ = n t \cdot \frac{μ^{'} Δ t - μ Δ t + σ \sqrt{Δ t}}{2 σ \sqrt{Δ t}} \cdot (1 - \frac{μ^{'} Δ t - μ Δ t + σ \sqrt{Δ t}}{2 σ \sqrt{Δ t}}) \cdot (2 σ \sqrt{Δ t})^{2} \\ = - n t \cdot ((μ^{'} Δ t - μ Δ t) + σ \sqrt{Δ t}) ((μ^{'} Δ t - μ Δ t) - σ \sqrt{Δ t}) \\ = n t \cdot σ^{2} Δ t - n t \cdot (μ^{'} - μ)^{2} {Δ t}^{2} \\ = σ^{2} t - t \cdot {(\frac{μ^{'} - μ}{\sqrt{n}})}^{2} \end{aligned}$

$n$ 을 무한대로 보내면 분산이 $σ^{2} t$ 가 됩니다. 기하 브라운 운동일 때와 같아지는 겁니다.

$∴ lim_{n \to \infty} V a r (\ln (S_{n t} / S)) = σ^{2} t$

그렇다면 수익율의 기대값도 기하 브라운 운동일 때와 같아야 될 것 같습니다.

$∴ lim_{n \to \infty} E (\ln (S_{n t} / S)) = μ t$

그런데 이렇게 되려면 $p$ 가 1/2이 되어야 합니다. 정말 신기하게도 무한대에서는 위험 중립 확률이 실제 확률과 같습니다. 달리 말하자면 무한의 세계에서는 이항 모형이 기하 브라운 운동이 된다는 겁니다.

$∴ lim_{n \to \infty} p = \frac{1}{2}$

증명 1 단계

$a$ 를 구해 보면 다음과 같습니다(주석 (1)).
$a = \frac{\ln (K / S) - n t \ln (d)}{\ln (u / d)} + ζ$

$a$ 를 $d_{?}$ 에 집어 넣고 전개하겠습니다.
$\begin{aligned} d_{?} = \frac{- a + n t p}{\sqrt{n t p (1 - p)}} & = \frac{- \frac{\ln (K / S) - n t \ln (d)}{\ln (u / d)} + ζ + n t p}{\sqrt{n t p (1 - p)}} \\ = \frac{\ln (S / K) + n t \ln (d) + n t p \ln (u / d)}{\ln (u / d) \sqrt{n t p (1 - p)}} + \frac{ζ}{\sqrt{n t p (1 - p)}} \\ = \frac{\ln (S / K) + n t \ln (d) + n t p \ln (u / d)}{\ln (u / d) \sqrt{n t p (1 - p)}} ∵ lim_{n \to \infty} ζ = 0 \end{aligned}$

이항 모형에서 주식 수익율의 기대값과 분산은 다음과 같습니다(주석 2). 그리고 이 값들이 분모, 분자에 숨어 있었습니다.

$\begin{aligned} E (\ln (S_{n t} / S)) & = n t (p \cdot \ln (u / d) + \ln (d)) \\ V a r (\ln (S_{n t} / S)) & = n t p (1 - p) \cdot {(\ln (u / d))}^{2} \end{aligned}$

이 값들을 이용하여 마저 정리하면 $d_{?}$ 는 일단 이렇게 됩니다.
$\begin{aligned} d_{?} & = \frac{\ln (S / K) + E (\ln (S_{n t} / S))}{\sqrt{V a r (\ln (S_{n t} / S))}} \\ = \frac{\ln (S / K) + E (\ln (S_{n t} / S))}{σ \sqrt{t}} ∵ lim_{n \to \infty} V a r (\ln (S_{n t} / S)) = σ^{2} t \end{aligned}$

증명 2 단계

먼저 $p = π$ 일 때 정말 $d_{?} = d_{2}$ 가 되는 지 보겠습니다. $π$ 는 위험 중립 확률이라서 1 기간이 지났을 때 기대 수익율은 이렇게 됩니다.
$E (S_{i}) = π u S_{i - 1} + d S_{i - 1} (1 - π) = S_{i - 1} e^{r Δ t}$

$E (S_{i}) / S_{i - 1} = E (S_{i} / S_{i - 1}) = e^{r Δ t}$

$∴ \ln (E (S_{i} / S_{i - 1})) = r Δ t$

그래서 $t$ 년이 지나고 나서 주식의 기대 수익율은 이렇게 됩니다.

$\begin{aligned} \ln (E (S_{n t} / S)) & = \ln (E (\frac{S_{1}}{S} \cdot \frac{S_{2}}{S_{1}} \cdot . . . \cdot \frac{S_{n t}}{S_{n t - 1}})) \\ = \ln (E (\frac{S_{1}}{S}) \cdot E (\frac{S_{2}}{S_{1}}) \cdot . . . \cdot E (\frac{S_{n t}}{S_{n t - 1}})) \\ = \sum_{i = 0}^{n t} \ln (E (\frac{S_{i}}{S_{i - 1}})) \\ = n t \cdot r Δ t \\ = r t \end{aligned}$

그런데 무한의 세계에서는 이항 모형이 기하 브라운 운동이 된다고 했으니 기대 수익율도 같아야 될 겁니다.

$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} \ln (E (S_{n t} / S)) & = (μ + \frac{σ^{2}}{2}) t \\ = μ t + \frac{σ^{2}}{2} t \\ = E (\ln (S_{n t} / S)) + \frac{σ^{2}}{2} t ∵ lim_{n \to \infty} E (\ln (S_{n t} / S)) = μ t \\ = r t \\ ∴ E (\ln (S_{n t} / S)) & = (r - \frac{σ^{2}}{2}) t \end{aligned}$

따라서 $p = π$ 일 때 $d_{?} = d_{2}$ 가 됩니다.
$\begin{aligned} d_{?} & = \frac{\ln (S / K) + E (\ln (S_{n t} / S))}{σ \sqrt{t}} \\ = \frac{\ln (S / K) + (r - σ^{2} / 2) t}{σ \sqrt{t}} = d_{2} \end{aligned}$

증명 3 단계

이제 $p = ρ$ 일 때 정말 $d_{?} = d_{1}$ 가 되는 지 보겠습니다. $ρ$ 의 정의를 잘 보면 1 기간 후의 기대 주가가 주어졌을 때 시간을 거꾸로 돌려서 현재 주가를 구하는 확률이라는 것을 알 수 있습니다. 시간을 거꾸로 돌리니까 상승 계수와 하락 계수는 역수가 되어 각각 $1 / u$ , $1 / d$ 이 됩니다.

$\begin{aligned} S_{i - 1} & = ρ S_{i - 1} + (1 - ρ) S_{i - 1} \\ = ρ \cdot \frac{1}{u} \cdot u S_{i - 1} + (1 - ρ) \cdot \frac{1}{d} \cdot d S_{i - 1} \\ = ρ \cdot \frac{1}{u} \cdot E (S_{i}) + (1 - ρ) \cdot \frac{1}{d} \cdot E (S_{i}) \\ = \frac{π \cdot u \cdot e^{- r Δ t}}{u} \cdot E (S_{i}) + \frac{(1 - π) \cdot d \cdot e^{- r Δ t}}{d} \cdot E (S_{i}) \\ = E (S_{i}) \cdot e^{- r Δ t} \end{aligned}$

$S_{i - 1} / E (S_{i}) = E (S_{i - 1} / S_{i}) = e^{- r Δ t}$

$∴ \ln (E (S_{i - 1} / S_{i})) = - r Δ t$

그리고 $t$ 년을 거꾸로 돌려 보면 수익율은 이렇게 됩니다.
$\ln (E (S / S_{n t})) = - r t$

한편 시간을 거꾸로 돌리면 로그 수익율은 이렇게 산술 브라운 운동을 하게 됩니다.
$\begin{aligned} \ln (S / u S) = \ln (1 / u) & = - μ Δ t - σ \sqrt{Δ t} \\ \ln (S / d S) = \ln (1 / d) & = - μ Δ t + σ \sqrt{Δ t} \end{aligned}$

$n$ 을 무한대로 보내면 이항 모형은 역시 아래와 같이 기하 브라운 운동을 하게 될 겁니다.

$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} V a r (\ln (S / S_{n t})) = σ^{2} t \\ lim_{n \to \infty} E (\ln (S / S_{n t})) = - μ t \\ lim_{n \to \infty} \ln (E (S / S_{n t})) = (- μ + \frac{σ^{2}}{2}) t \end{aligned}$

마찬가지로 시간을 거꾸로 돌려도 기대 수익율은 기하 브라운 운동일 때와 같아야 될 겁니다.
$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} \ln (E (S / S_{n t})) & = (- μ + \frac{σ^{2}}{2}) t \\ = - μ t + \frac{σ^{2}}{2} t \\ = E (\ln (S / S_{n t})) + \frac{σ^{2}}{2} t ∵ lim_{n \to \infty} E (\ln (S / S_{n t})) = - μ t \\ = - r t \\ ∴ E (\ln (S / S_{n t})) & = (- r - \frac{σ^{2}}{2}) t \\ = - E (\ln (S_{n t} / S)) \end{aligned}$

따라서 $p = ρ$ 일 때 $d_{?} = d_{1}$ 가 됩니다.
$\begin{aligned} d_{?} & = \frac{\ln (S / K) + E (\ln (S_{n t} / S))}{σ \sqrt{t}} \\ = \frac{\ln (S / K) + (r + σ^{2} / 2) t}{σ \sqrt{t}} = d_{1} \end{aligned}$

주석

(1) 앞면이 적어도 나와야 할 회수

만기에 옵션이 가치를 가지려면 만기 주가가 행사 가격 보다는 높아야 합니다.
$\begin{aligned} u^{a} d^{n t - a} S & > K \\ \ln (u^{a} d^{n t - a} S) & > \ln (K) \\ a \ln (u) + (n t - a) \ln (d) + \ln (S) & > \ln (K) \\ a (\ln (u) - \ln (d)) & > \ln (K) - \ln (S) - n t \ln (d) \\ ∴ a & > \frac{\ln (K / S) - n t \ln (d)}{\ln (u / d)} \end{aligned}$

$a$ 는 정수이기 때문에 이렇게 쓸 수 있습니다. $ζ$ 는 제타라고 읽습니다.
$a = \frac{\ln (K / S) - n t \ln (d)}{\ln (u / d)} + ζ, 0 \leq ζ < 1$

$n$ 이 무한대로 가면 $S$ 가 가질 수 있는 경우의 수도 무한이 됩니다. 따라서 그중에 하나는 행사 가격 $K$ 가 됩니다. 따라서 $n$ 이 무한대로 가면 $ζ$ 는 0으로 수렴합니다.

(2) 주식 수익율의 기대값과 분산

이항 모형에서 콜 옵션의 만기가 되었을 때 주식의 로그 수익율은 이렇게 됩니다.

$\begin{aligned} \ln (S_{n t} / S) & = \ln (\frac{u^{j} d^{n t - j} S}{S}) \\ = j \ln (u) + (n t - j) \ln (d) \\ = j \ln (u / d) + n t \ln (d) \end{aligned}$

그리고 기대값과 분산은 다음과 같습니다.
$\begin{aligned} E (\ln (S_{n t} / S)) & = E (j \ln (u / d) + n t \ln (d)) \\ = E (j) \cdot \ln (u / d) + n t \ln (d) \\ = n t p \cdot \ln (u / d) + n t \ln (d) \\ = n t (p \cdot \ln (u / d) + \ln (d)) \end{aligned}$

$\begin{aligned} V a r (\ln (S_{n t} / S)) & = V a r (j \ln (u / d) + n t \ln (d)) \\ = V a r (j) \cdot {(\ln (u / d))}^{2} \\ = n t p (1 - p) \cdot {(\ln (u / d))}^{2} \end{aligned}$

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