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들어가며이번 포스팅은 "The (Mis)Behavior of Markerts"에 나오는 이야기로 시작할까합니다. 1973년 4월 26일 시카고 상품 거래소(The Chicago Board of Trade)에서 주식 옵션의 거래가 시작되었습니다. 물론 그전에도 주식 옵션은 있었습니다. 장외에서만 거래되다가 처음으로 거래소에서 사고 팔 수 있게 된 것이죠. 이날 거래되었던 옵션 중에는 제록스 주식을 석 달 뒤에 주당 160 달러에 살 수 있는 콜 옵션이 있었다고 합니다. 이 콜 옵션의 가격은 주당 5.5 달러였습니다. 한편 이날 뉴욕 증시에서 제록스의 주가는 149 달러였고 석 달 후에 160 달러를 넘지 못하면서 결국 이 콜 옵션은 행사되지 못했다고 합니다. 5.5 달러를 날린 거죠. 하지만 콜 옵션 대신..

산술 브라운 운동으로는 주가의 움직임을 설명할 수 없습니다. 산술 브라운 운동을 한다면 주가가 - 평균적으로 - 일정한 양만큼 증가(또는 감소)하기 때문에 주가가 음수가 될 수 있기 때문입니다. 또 다른 문제는 수익율에 대한 가정이 현실적이지 않다는 겁니다. 예를 들어 현재 주가가 50원일 때에도, 80원일 때에도, 100원일 때에도 주가가 10원만큼 오른다면 수익율은 20%, 12.5%, 10%로 낮아지게 됩니다. 주가가 높으니 수익율이 낮아도 된다고 생각하는 사람은 아무도 없습니다. 따라서 주가는 - 평균적으로 - 일정한 비율만큼 움직인다고 가정하는 것이 합리적입니다. 다만, 그 비율이 무작위 보행을 하는 것입니다.주가와 기하 브라운 운동주가가 움직인 비율이 곧 수익율입니다. 주가가 100원에서 1년..

무작위 보행이나 위너 과정이나 평균이 0이고 분산이 1인 확률 변수에 - $x$, $\epsilon$ - 기반하고 있습니다. 하지만 이는 표준화의 결과물입니다. 실제로는 모든 사람이 앞이나 뒤로 한 걸음씩만 걷는 것도 아니고 속력도 제각각입니다.일반화된 위너 과정지난 포스팅에서 살펴 보았듯이 무작위 보행은 동전을 한 번 던질 때마다 위치가 $x\over\sqrt{n}$만큼 변화하는 확률 과정입니다.$$\Delta W_n(t)=\frac{x}{\sqrt{n}}=x\cdot\sqrt{\Delta t}\quad\because \Delta t=\frac{1}{n}$$여기서 $x$는 $y$의 표준화 확률 변수입니다. 표준화를 하기 전으로 돌아 가면 실제 현실이 될 겁니다.$$\begin{aligned}\Delta..

지난 포스팅에서 무작위 보행 함수는 모든 함수의 값이 확률 변수라는 것을 알았습니다. 이런 함수를 확률 함수라고도 하고 확률 과정이라고도 한다고 했습니다. 그리고 평균과 분산도 구해 보았습니다. 그런데 무작위 보행 함수는 어떤 확률 분포를 따르게 될까요?무작위 보행의 확률 분포무작위 보행 함수 $W_n(t)$의 그래프를 그려 보았습니다. 단면을 잘라 보면 $W_n(t)$의 확률 분포를 가늠할 수 있을 겁니다. 아래 그래프는 시간 당 64 걸음씩, 2시간 동안, 255번을 무작위로 걸어 본 결과입니다. 점과 점의 사이 사이는 보간법으로 집어 넣었습니다.$t=1$ 시점의 단면을 잘라서 얻은 $W_{64}(1)$의 값 255개로 히스토그램을 그려 보았습니다. 히스토그램과 겹쳐 놓은 그래프는 정규 분포의 확률 ..

들어가며약 200년 전에 스코틀랜드의 식물학자 로버트 브라운(Robert Brown)은 물 속에서 꽃가루 입자들이 불규칙하게 움직이는 현상을 처음으로 진지하게 연구했다고 합니다. 물의 흐름이 없는데도 꽃가루 입자들은 이리 저리 움직입니다. 나중에 밝혀졌는데 이 현상은 물 분자와 꽃가루 입자의 충돌 때문입니다. 물 분자들이 어디서 달려와 부딪힐 지 모르니 꽃가루의 움직임이 불규칙한 것입니다. 이를 이론적으로 정립한 분이 그 유명한 알버트 아인슈타인(Albert Einstein)입니다. 그리고 또 시간이 흘러 노버트 위너(Norbert Wiener)라는 분이 브라운 운동을 수학적으로 정의했다고 합니다. 그래서 물 속의 꽃가루 움직임처럼 무작위적인 움직임을 브라운 운동 또는 위너 과정이라고 부릅니다. 그리고 ..

회귀 계수 $\widehat{\beta}_1$은 관찰된 표본에서 나온 값입니다. 회귀 계수를 구해 보면 당연히 표본마다 다를테지만 기대값이 있을 것이고 그 값을 중심으로 흩어져 있을 것입니다. 회귀 계수의 기대값과 분산을 구해 보면 다음과 같습니다(주석 (1)).$$\begin{aligned}E(\widehat{\beta}_1)&=\beta_1\\Var(\widehat{\beta}_1)&=\frac{\sigma^2}{\sum(x_i-\overline{x})^2}\end{aligned}$$그리고 회귀 계수 $\widehat{\beta}_1$는 정규 분포를 따른다고 합니다. 회귀 계수는 $x$가 변할 때 $y$가 변하는 정도인데 $x$는 상수 취급이고 $y$가 정규 분포를 따르니까 그런 것 같기는 합니다.$..

회귀 분석(regression analysis)은 두 변수들 사이의 확률적 관계를 알아 보는 분석입니다. 알아 보려는 그 관계가 선형이라면 선형(linear) 회귀 분석이라고 합니다. 두 변수 $x$와 $y$가 완벽한 선형의 관계라면 $y=\beta_0+\beta_1x$의 꼴로 표현할 수 있겠습니다. 그런데 $x$와 $y$가 확률적 관계라면 $y$ 값은 확률적으로 결정될 것이고 완벽한 선형일 때와 비교하면 오차(error)가 있을 겁니다. 따라서 두 변수의 관계는 다음의 모형으로 표현할 수 있습니다.$$y=\beta_0+\beta_1x+\varepsilon$$여기서 $\varepsilon$이 오차를 의미하는 확률 변수입니다. $\varepsilon$은 엡실론이라고 읽습니다. $x$가 어떤 값이 되든 오차..

t-분포확률 변수 $x$가 표준 정규 분포를 따르고, 확률 변수 $y$는 자유도가 $\nu$인 카이 제곱 분포를 따른다고 할 때, 확률 변수 $\frac{x}{\sqrt{y/\nu}}$는 자유도가 $\nu$인 t-분포(t-distribution)를 따른다고 합니다. $$x \sim N(0,1)$$$$y \sim \chi_{\nu}^2$$$$t=\frac{x}{\sqrt{y/\nu}} \sim t_{\nu}$$t-분포는 표준 정규 분포와 마찬가지로 평균이 0이고 좌우 대칭입니다. t-분포를 따르는 확률 변수의 분산은 $\frac{\nu}{\nu-2}(\nu>2)$이라고 하는데 이 값은 1보다 큽니다. 따라서 표준 정규 분포보다는 봉우리가 낮고 양 끝이 높은 분포가 됩니다. 하지만 t-분포는 자유도가 커질수..

표본마다 분산이 같지는 않을테니 표본의 분산 역시 당연히 확률 변수입니다. 표본 분산을 $s^2$이라고 합시다. 표본 분산 $s^2$을 표본 평균의 분산 $Var(\overline{x})=\frac{\sigma^2}{n}$과 헷갈리면 안 됩니다. 표본 평균의 기대값이 모평균과 같듯이 표본 분산의 기대값도 모분산과 같아야 겠습니다.$$E(\overline{x})=E(x)=\mu$$$$E(s^2)=Var(x)=\sigma^2$$표본의 분산은 그냥 분산 공식에 따라 계산하면 되겠지라는 생각이 듭니다. 하지만 이렇게 구한 표본 분산은 확률 변수의 값들이 모평균이 아니라 표본 평균을 기준으로 흩어진 정도를 의미합니다. 그런데 표본 평균 자체가 모평균을 기준으로 흩어져 있습니다(#). 따라서 그 기대값은 모분산 보..

표본은 모집단에서 일부를 뽑아서 만든 집단입니다. 모집단을 모두 조사하는 것이 - 이론적으로든 현실적으로든 - 불가능한 경우에 표본 집단을 조사하여 모집단의 통계적 특성을 추정합니다. 하루에 수만개의 주사위를 생산하는 공장이 있습니다. 어떤 날에 만들어진 주사위가 제대로 만들어졌는지 - 어떤 눈이든 나올 확률이 6분의 1로 같은지 - 어떻게 확인할 수 있을까요?중심 극한 정리수만개를 일일이 다 조사하기에는 시간이 너무 많이 걸립니다. 그래서 주사위 30개를 뽑아서 한 번씩 굴려 보기로 했습니다. 이렇게 구한 30개의 숫자가 표본입니다. 이때 표본의 크기가 30이라고 합니다. 그리고 30개 숫자의 평균을 표본 평균이라고 합니다. 크기가 30인 표본을 만드는 방법은 굉장히 많고 표본마다 평균들이 같을 수가 ..