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모든 주식의 수익율이 완전히 따로 놀지는 않습니다. 어떤 주식끼리는 같은 방향으로 움직이기도 하고, 또 어떤 주식들은 서로 다른 방향으로 움직이기도 할 겁니다. 주식 A의 수익율이 브라운 운동을 한다고 가정하면 주가의 흐름을 만들어 낼 수 있습니다. 주식 B도 마찬가지입니다. 그런데 이렇게 만들어 낸 주가의 흐름은 서로 아무런 관련이 없습니다. 만약 주식 A와 B의 수익율 간에 어떤 상관 관계가 있다면 주가의 흐름들도 이를 반영할 수 있어야 합니다.분산-공분산 행렬확률 변수들 사이의 공분산은 행렬로 표현할 수 있습니다. 다음은 세 개의 확률 변수 $X_1$, $X_2$, $X_3$ 사이의 공분산을 나타낸 행렬입니다. $Cov(a,b)=Cov(b,a)$이므로 좌상에서 우하로 그은 대각선을 기준으로 상하 대..

풋 옵션풋 옵션은 주식을 팔 수 있는 권리입니다. 콜 옵션과는 반대로 주가가 행사 가격보다 낮을수록 만기 가치가 커집니다. 예를 들어 1달이 지난 시점에 100원을 받고 주식 1주를 팔 수 있는 풋 옵션이 있다고 합시다. 한 달 후의 주가가 50원이 되었다면 이 옵션을 가진 사람은 권리를 행사할 겁니다. 100원을 받고 50원 짜리 주식을 팔면 50원 이득이기 때문입니다. 반면에 한 달 후의 주가가 200원이면 그냥 권리를 포기하는 것이 이득입니다. 200원 짜리 주식을 100원을 받고 팔 수는 없으니까요. 행사 가격($K$)이 만기 시점($t$)의 주가($S_t$) 보다 높은 만큼 이득이지만 행사 가격이 주가가 낮아도 높아도 손해는 없습니다. 따라서 만기 시점의 풋 옵션 가치는 이렇게 표현할 수 있습니..

이번 포스팅은 Binomial option pricing and Black-Scholes(John Thickstun)의 내용도 참고하여 작성하였습니다.블랙-숄즈 모형현재 주가가 $S$, 행사 가격이 $K$, 만기가 $t$년 후인 콜 옵션의 가치를 구하는 블랙-숄즈의 공식은 이렇게 생겼습니다. 블랙-숄즈의 공식이 어떻게 나온 것인지는 잘 모르겠지만 그 밑에 있는 이항 모형의 공식과 많이 닮았다는 것은 알 수 있습니다.$$C=S\cdot N(d_1)-Ke^{-rt}\cdot N(d_2)$$$$C=S\cdot B(a;nt,\rho)-Ke^{-rt}\cdot B(a;nt,\pi)$$여기서 $N(\cdot)$은 표준 정규 분포의 누적 분포 함수(Cumulative Distribution Function)입니다. ..

2-기간 이항 모형2-기간 모형은 1-기간 모형의 확장입니다. 아래 그림을 보면 바로 느낌이 올 겁니다. 2-기간 모형은 3개의 1-기간 모형으로 이루어져 있습니다.2-기간이 지나 만기가 되었을 때 콜 옵션 가치는 아래와 같습니다.$$\begin{aligned}C_{uu}&=\max(0,u^2S-K)\\C_{ud}&=\max(0,udS-K)\\C_{dd}&=\max(0,d^2S-K)\end{aligned}$$$C_{uu}$, $C_{ud}$, $C_{dd}$를 구했으면 1-기간 모형을 사용하여 $C_u$와 $C_d$를 구할 수 있습니다.$$C_u=e^{-r}(\pi C_{uu}+(1-\pi) C_{ud})\tag{1}$$$$C_d=e^{-r}(\pi C_{ud}+(1-\pi) C_{dd})\tag{2}$..

옵션옵션은 어떤 주식을 사거나 팔 수 있는 권리를 말합니다. 살 수 있는 권리를 콜 옵션(call option), 팔 수 있는 권리를 풋 옵션(put option)이라고 합니다. 권리가 행사되었을 때 사거나 팔 주식은 미리 정해 놓습니다. 이 주식을 기초 자산(underlying asset)이라고 합니다. 물론 기초 자산이 주식이 아닌 옵션들도 있습니다. 권리를 행사하여 주식을 사거나 팔 수 있는 시점 및 가격 역시 미리 정해 놓습니다. 권리를 행사하기로 미리 정한 시점을 행사 시점(exercise date), 권리를 행사할 때 주거나 받기로 미리 정한 가격은 행사 가격(strike price)이라고 합니다. 행사 시점이 지나면 권리를 행사할 수 없기 때문에 행사 시점을 다른 말로는 만기라고 합니다.예를..

들어가며이번 포스팅은 "The (Mis)Behavior of Markerts"에 나오는 이야기로 시작할까합니다. 1973년 4월 26일 시카고 상품 거래소(The Chicago Board of Trade)에서 주식 옵션의 거래가 시작되었습니다. 물론 그전에도 주식 옵션은 있었습니다. 장외에서만 거래되다가 처음으로 거래소에서 사고 팔 수 있게 된 것이죠. 이날 거래되었던 옵션 중에는 제록스 주식을 석 달 뒤에 주당 160 달러에 살 수 있는 콜 옵션이 있었다고 합니다. 이 콜 옵션의 가격은 주당 5.5 달러였습니다. 한편 이날 뉴욕 증시에서 제록스의 주가는 149 달러였고 석 달 후에 160 달러를 넘지 못하면서 결국 이 콜 옵션은 행사되지 못했다고 합니다. 5.5 달러를 날린 거죠. 하지만 콜 옵션 대신..

산술 브라운 운동으로는 주가의 움직임을 설명할 수 없습니다. 산술 브라운 운동을 한다면 주가가 - 평균적으로 - 일정한 양만큼 증가(또는 감소)하기 때문에 주가가 음수가 될 수 있기 때문입니다. 또 다른 문제는 수익율에 대한 가정이 현실적이지 않다는 겁니다. 예를 들어 현재 주가가 50원일 때에도, 80원일 때에도, 100원일 때에도 주가가 10원만큼 오른다면 수익율은 20%, 12.5%, 10%로 낮아지게 됩니다. 주가가 높으니 수익율이 낮아도 된다고 생각하는 사람은 아무도 없습니다. 따라서 주가는 - 평균적으로 - 일정한 비율만큼 움직인다고 가정하는 것이 합리적입니다. 다만, 그 비율이 무작위 보행을 하는 것입니다.주가와 기하 브라운 운동주가가 움직인 비율이 곧 수익율입니다. 주가가 100원에서 1..

무작위 보행이나 위너 과정이나 평균이 0이고 분산이 1인 확률 변수에 - $x$, $\epsilon$ - 기반하고 있습니다. 하지만 이는 표준화의 결과물입니다. 실제로는 모든 사람이 앞이나 뒤로 한 걸음씩만 걷는 것도 아니고 속력도 제각각입니다.일반화된 위너 과정지난 포스팅에서 살펴 보았듯이 무작위 보행은 동전을 한 번 던질 때마다 위치가 $x\over\sqrt{n}$만큼 변화하는 확률 과정입니다.$$\Delta W_n(t)=\frac{x}{\sqrt{n}}=x\cdot\sqrt{\Delta t}\quad\because \Delta t=\frac{1}{n}$$여기서 $x$는 $y$의 표준화 확률 변수입니다. 표준화를 하기 전으로 돌아 가면 실제 현실이 될 겁니다.$$\begin{aligned}\Delta..

지난 포스팅에서 무작위 보행 함수는 모든 함수의 값이 확률 변수라는 것을 알았습니다. 이런 함수를 확률 함수라고도 하고 확률 과정이라고도 한다고 했습니다. 그리고 평균과 분산도 구해 보았습니다. 그런데 무작위 보행 함수는 어떤 확률 분포를 따르게 될까요?무작위 보행의 확률 분포무작위 보행 함수 $W_n(t)$의 그래프를 그려 보았습니다. 단면을 잘라 보면 $W_n(t)$의 확률 분포를 가늠할 수 있을 겁니다. 아래 그래프는 시간 당 64 걸음씩, 2시간 동안, 255번을 무작위로 걸어 본 결과입니다. 점과 점의 사이 사이는 보간법으로 집어 넣었습니다.$t=1$ 시점의 단면을 잘라서 얻은 $W_{64}(1)$의 값 255개로 히스토그램을 그려 보았습니다. 히스토그램과 겹쳐 놓은 그래프는 정규 분포의 확률 ..

들어가며약 200년 전에 스코틀랜드의 식물학자 로버트 브라운(Robert Brown)은 물 속에서 꽃가루 입자들이 불규칙하게 움직이는 현상을 처음으로 진지하게 연구했다고 합니다. 물의 흐름이 없는데도 꽃가루 입자들은 이리 저리 움직입니다. 나중에 밝혀졌는데 이 현상은 물 분자와 꽃가루 입자의 충돌 때문입니다. 물 분자들이 어디서 달려와 부딪힐 지 모르니 꽃가루의 움직임이 불규칙한 것입니다. 이를 이론적으로 정립한 분이 그 유명한 알버트 아인슈타인(Albert Einstein)입니다. 그리고 또 시간이 흘러 노버트 위너(Norbert Wiener)라는 분이 브라운 운동을 수학적으로 정의했다고 합니다. 그래서 물 속의 꽃가루 움직임처럼 무작위적인 움직임을 브라운 운동 또는 위너 과정이라고 부릅니다. 그리고 ..