옵션 가격 모형 #3 - 다 기간 이항 모형

2-기간 이항 모형

2-기간 모형은 1-기간 모형의 확장입니다. 아래 그림을 보면 바로 느낌이 올 겁니다. 2-기간 모형은 3개의 1-기간 모형으로 이루어져 있습니다.

2 기간 이항 모형

2-기간이 지나 만기가 되었을 때 콜 옵션 가치는 아래와 같습니다.

$$\begin{aligned}
C_{uu}&=\max(0,u^2S-K)\\
C_{ud}&=\max(0,udS-K)\\
C_{dd}&=\max(0,d^2S-K)
\end{aligned}$$

$C_{uu}$, $C_{ud}$, $C_{dd}$를 구했으면 1-기간 모형을 사용하여 $C_u$와 $C_d$를 구할 수 있습니다.

$$
C_u=e^{-r}(\pi C_{uu}+(1-\pi) C_{ud})\tag{1}
$$

$$
C_d=e^{-r}(\pi C_{ud}+(1-\pi) C_{dd})\tag{2}
$$

$C_u$와 $C_d$를 구했으면 $C$도 구할 수 있습니다.
$$
C=e^{-r}(\pi C_{u}+(1-\pi) C_{d})\tag{3}
$$

(1)과 (2)를 (3)에 집어 넣고 정리하여 봅시다. 동전을 던져서 앞면이 나온 회수를 $j$라고 하면 아래와 같이 정리할 수 있습니다.
$$\begin{aligned}
C&=e^{-r}(\pi \cdot e^{-r}(\pi C_{uu}+(1-\pi) C_{ud})+(1-\pi) \cdot e^{-r}(\pi C_{ud}+(1-\pi) C_{dd}))\\
&=e^{-2r}(\pi^2C_{uu}+2\pi(1-\pi)C_{ud}+(1-\pi)^2C_{dd})\\
&=e^{-2r}\cdot\displaystyle\sum_{j=0}^2{_2C_j\cdot\pi^{j}(1-\pi)^{2-j}}\cdot\max(0,u^{j}d^{2-j}S-K)
\end{aligned}$$

1-기간 모형일 때와 마찬가지로 콜 옵션의 가격은 콜 옵션 만기 가치의 기대값을 무위험 이자율로 할인한 가치가 됩니다. 여기서 기대값은 위험 중립 확률로 계산한 위험 중립 기대값입니다.

$n$-기간 모형

기간을 계속 늘려 봅시다. $n$-기간이 되면 만기 시점의 콜 옵션 가격은 아래와 같이 일반화할 수 있습니다.
$$
C=e^{-nr}\cdot\displaystyle\sum_{j=0}^n{_nC_j\cdot\pi^{j}(1-\pi)^{n-j}}\cdot\max(0,u^{j}d^{n-j}S-K)
$$

동전의 앞면이 나온 회수가 많을수록 만기 시점의 주가는 올라갑니다. 앞면이 나온 회수가 적어도 어떤 회수 이상이 되어야 만기 시점의 주가가 행사 가격보다 높아질 겁니다. 이 회수를 $a$라고 하겠습니다.

$$
\max(0,u^{j}d^{n-j}S-K)=\begin{cases}
0 & j<a\\
u^{j}d^{n-j}S-K & j \geq a
\end{cases}
$$

$j < a$이면 만기 시점의 콜 옵션 가치가 없으니까 콜 옵션의 가격은 $j$가 $a$와 같거나 큰 경우만 고려하면 됩니다. 이를 이용하면 일단 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

$$\begin{aligned}
C&=e^{-nr}\cdot\displaystyle\sum_{j=0}^n{{}_nC_j\cdot\pi^{j}(1-\pi)^{n-j}}\cdot\max(0,u^{j}d^{n-j}S-K)\\
&=e^{-nr}\cdot\displaystyle\sum_{j=a}^n{{}_nC_j\cdot\pi^{j}(1-\pi)^{n-j}}\cdot (u^{j}d^{n-j}S-K)\\
&=e^{-nr}\left(\displaystyle\sum_{j=a}^n{{}_nC_j\cdot\pi^{j}(1-\pi)^{n-j}}\cdot u^{j}d^{n-j}S-\displaystyle\sum_{j=a}^n{{}_nC_j\cdot\pi^{j}(1-\pi)^{n-j}}\cdot K\right)\\
&=e^{-nr}\left(\displaystyle\sum_{j=a}^n{{}_nC_j\cdot(\pi u)^{j}(d(1-\pi))^{n-j}}\cdot S-\displaystyle\sum_{j=a}^n{{}_nC_j\cdot\pi^{j}(1-\pi)^{n-j}}\cdot K\right)
\end{aligned}$$

그런데 $\pi u$와 $d(1-\pi)$는 더하면 $e^r$이 됩니다. 그리고 양변을 $e^r$로 나누면 우변이 1이 됩니다.

$$
\pi u+d(1-\pi)=\frac{e^r-d}{u-d}\cdot u+\frac{u-e^r}{u-d}\cdot d=e^r
$$

$$
\frac{\pi u}{e^r}+\frac{d(1-\pi)}{e^r}=1
$$

더해서 1이 된다는 점에서 이것도 일종의 확률입니다. 각각 $\rho$, $(1-\rho)$라고 합시다. $\rho$는 로라고 읽습니다.
$$\begin{aligned}
\frac{\pi u}{e^r}&=\rho\quad\therefore \pi u=\rho e^r\\
\frac{d(1-\pi)}{e^r}&=1-\rho\quad\therefore d(1-\pi)=(1-\rho)e^r
\end{aligned}$$

이 확률을 이용하여 마저 정리하면 이렇게 됩니다.

$$\begin{aligned}
C&=e^{-nr}\left(\displaystyle\sum_{j=a}^n{{}_nC_j\cdot(\rho e^r)^{j}((1-\rho)e^r)^{n-j}}\cdot S-\displaystyle\sum_{j=a}^n{{}_nC_j\cdot\pi^{j}(1-\pi)^{n-j}}\cdot K\right)\\
&=e^{-nr}\left(\displaystyle\sum_{j=a}^n{{}_nC_j\cdot\rho^{j}(1-\rho)^{n-j}}\cdot e^{nr}S-\displaystyle\sum_{j=a}^n{{}_nC_j\cdot\pi^{j}(1-\pi)^{n-j}}\cdot K\right)\\
&=S\cdot \displaystyle\sum_{j=a}^n{{}_nC_j\cdot\rho^{j}(1-\rho)^{n-j}}-K\cdot e^{-nr}\displaystyle\sum_{j=a}^n{{}_nC_j\cdot\pi^{j}(1-\pi)^{n-j}}
\end{aligned}$$

정리가 다 끝났지만 너무 긴 느낌입니다. 조금만 더 정리해 보겠습니다. 확률 변수 $x$가 이항 분포를 따를 때 $x$가 $a$보다 크거나 같을 확률은 이렇게 됩니다.
$$
j \sim B(n,p)
$$

$$
p(j\geq a)=\displaystyle\sum_{j=a}^n{{}_nC_j\cdot p^{j}(1-p)^{n-j}}
$$

이 확률을 아래와 같은 기호로 표현하겠습니다.
$$
B(a;n,p):=p(j\geq a)
$$

그러면 콜 옵션의 가격은 최종적으로는 이런 공식이 됩니다. 여기서 $B(a;n,\rho)$나 $B(a;n,\pi)$나 모두 동전을 던져서 앞면이 $a$번 이상 나올 확률입니다. 다만, 앞면이 나올 확률이 1/2은 아닌 동전인 셈이죠. 그리고 이 확률은 만기에 주가가 행사 가격보다 높을 확률이자 옵션이 행사될 확률입니다. 주목할 것은 콜 옵션의 가격을 알기 위해서 만기 시점의 주가를 알 필요가 없다는 점입니다.
$$
\therefore C=S\cdot B(a;n,\rho)-Ke^{-nr}\cdot B(a;n,\pi)
$$

만약 1년에 동전을 $n$번 던진다면 $nr$은 1년 무위험 이자율입니다. $nr=r_f$라고 하겠습니다. 그리고 만기가 $t$년 후라면 동전을 $nt$번 던지게 되므로 콜 옵션의 만기는 $nt$ 기간 후가 됩니다. 따라서 만기가 $t$년 후인 콜 옵션의 가격은 이렇게 됩니다.

$$\begin{aligned}
C&=S\cdot B(a;nt,\rho)-Ke^{-nt\cdot\frac{r_f}{n}}\cdot B(a;nt,\pi)\quad \because r=\frac{r_f}{n}\\
&=S\cdot B(a;nt,\rho)-Ke^{-r_f\cdot t}\cdot B(a;nt,\pi)
\end{aligned}$$

이제부터 1년 무위험 이자율 $r_f$를 $r$이라고 하겠습니다. 그러면 최종적으로 콜 옵션 가격 공식은 이렇게 됩니다.
$$
\therefore C=S\cdot B(a;nt,\rho)-Ke^{-rt}\cdot B(a;nt,\pi)
$$