주가의 움직임 #3 - 산술 브라운 운동

무작위 보행이나 위너 과정이나 평균이 0이고 분산이 1인 확률 변수에 - $x$, $\epsilon$ - 기반하고 있습니다. 하지만 이는 표준화의 결과물입니다. 실제로는 모든 사람이 앞이나 뒤로 한 걸음씩만 걷는 것도 아니고 속력도 제각각입니다.

일반화된 위너 과정

지난 포스팅에서 살펴 보았듯이 무작위 보행은 동전을 한 번 던질 때마다 위치가 $x\over\sqrt{n}$만큼 변화하는 확률 과정입니다.

$$\Delta W_n(t)=\frac{x}{\sqrt{n}}=x\cdot\sqrt{\Delta t}\quad\because \Delta t=\frac{1}{n}
$$

여기서 $x$는 $y$의 표준화 확률 변수입니다. 표준화를 하기 전으로 돌아 가면 실제 현실이 될 겁니다.

$$\begin{aligned}
\Delta W_n(t)&=\frac{x}{\sqrt{n}}=\frac{\frac{y-m}{s}}{\sqrt{n}}\quad\because x=\frac{y-m}{s}\\
\\
y&=m+s\sqrt{n}\cdot\Delta W_n(t)\\
\\
y&=\frac{nm}{n}+\sqrt{ns^2}\cdot\Delta W_n(t)
\end{aligned}$$

$y$는 동전을 한 번 던질 때 위치의 변화량이고 평균은 $m$, 분산은 $s^2$입니다. 그런데 한 시간에 동전을 던지는 회수가 $n$번이므로 $nm$은 한 시간 동안 위치 변화량의 평균입니다. $n$개의 $y$들은 모두 독립이므로 한 시간 동안 위치 변화량의 분산도 - 평균 계산하듯이 - $ns^2$이 됩니다. $m$과 $s^2$이 동전 던지기 한 번의 통계량이라면 $nm$과 $ns^2$은 한 시간의 통계량입니다. 이를 각각 $\mu=nm$, $\sigma^2=ns^2$이라고 하면 $y$는 이렇게 정리 됩니다.

$$\begin{aligned}
y&=\frac{\mu}{n}+\sigma\cdot\Delta W_n(t)\\
\\
y&=\mu\cdot\Delta t+\sigma\cdot x\cdot\sqrt{\Delta t}
\end{aligned}$$

한 시간에 동전을 $n$번 던질 때 $t$ 시간 후의 위치 $P_n(t)$는 이렇게 됩니다. 그리고 정의 상 동전을 한 번 던질 때 위치의 변화량 $\Delta P_n(t)$는 $y$입니다.

$$\begin{aligned}
P_n(t)&=\displaystyle\sum_{i=1}^{nt}y_i\\
&=\displaystyle\sum_{i=1}^{nt}(\mu\cdot\Delta t+\sigma\cdot x_i\cdot\sqrt{\Delta t})\\
&=\mu t+\sigma W_n(t)\\
\\
\Delta P_n(t)&=y\\
&=\mu\cdot\Delta t+\sigma\cdot x\cdot\sqrt{\Delta t}
\end{aligned}$$

마지막으로 $x$ 대신에 표준 정규 확률 변수 $\epsilon$을 사용하고, $n$을 $\infty$로 보내 버리면 이런 확률 과정이 됩니다.

$$\begin{aligned}
P_t&=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}P_n(t)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(\mu t+\sigma W_n(t))=\mu t+\sigma W_t\\
\\
dP_t&=\mu\cdot dt+\sigma\cdot \epsilon\cdot\sqrt{dt}=\mu\cdot dt+\sigma\cdot dW_t
\end{aligned}$$

위의 식에서 $\mu=0$이고 $\sigma=1$이면 위너 과정이 됩니다. 그래서 이 확률 과정을 일반화된 위너 과정(generalized Wiener process)라고 합니다. 위너 과정은 이 확률 과정의 특수한 경우이기 때문입니다. $W_t$가 정규 분포를 따르기 때문에 $P_t$ 역시 정규 분포를 따릅니다.

$$
W_t \sim N(0, t)$$

$$P_t \sim N(\mu t, \sigma^2 t)
$$

산술 브라운 운동

$P_t$의 그래프를 그릴 수는 없지만 $P_n(t)$의 그래프는 그릴 수 있습니다. $P_n(t)$는 두 개의 항으로 이루어져 있는데 별도의 그래프로 그려 넣었습니다.

표류와 확산

첫 번째 항 $\mu t$는 위치의 변화량이 시간의 변화량과 정비례하는 것을 보여 줍니다. 시간이 흘러 가면 한 시간당 $\mu$만큼 전진합니다. 마치 물 위에 떠 있는 배가 물의 흐름에 따라 흘러 가는 것과 비슷합니다. 그래서 첫 번째 항을 표류 항(drift term)이라고 합니다. 일반화된 위너 과정에서는 이렇게 위치가 시간에 따라 일정한 양만큼 증가하기 때문에 산술 브라운 운동이라고도 합니다. 산술 급수는 일정한 양을 더해서 다음 수를 얻고, 기하 급수는 일정한 율을 곱해서 다음 수를 얻습니다.

두 번째 항 $\sigma W_n(t)$는 확률 변수를 포함하고 있기 때문에 값이 매번 달라집니다. 물을 따라 흘러 가던 배가 바람을 맞으면 방향이 바뀌는 것과 비슷합니다. 바람은 어디서 어디로 얼마나 세게 불지 모르기 때문에 확률 변수인 셈입니다. 두 번째 항은 확산 항(diffusion term)이라고 합니다. 시간이 흘러 갈수록 분산이 커지기 때문에 $P_n(t)$의 그래프를 여러 번 그려 보면 점점 퍼져 나가는 것을 볼 수 있습니다.

산술 브라운 운동