주가의 움직임 #5 - 상관 관계가 있는 두 개의 브라운 운동

모든 주식의 수익율이 완전히 따로 놀지는 않습니다. 어떤 주식끼리는 같은 방향으로 움직이기도 하고, 또 어떤 주식들은 서로 다른 방향으로 움직이기도 할 겁니다. 주식 A의 수익율이 브라운 운동을 한다고 가정하면 주가의 흐름을 만들어 낼 수 있습니다. 주식 B도 마찬가지입니다. 그런데 이렇게 만들어 낸 주가의 흐름은 서로 아무런 관련이 없습니다. 만약 주식 A와 B의 수익율 간에 어떤 상관 관계가 있다면 주가의 흐름들도 이를 반영할 수 있어야 합니다.

분산-공분산 행렬

확률 변수들 사이의 공분산은 행렬로 표현할 수 있습니다. 다음은 세 개의 확률 변수 $X_1$, $X_2$, $X_3$ 사이의 공분산을 나타낸 행렬입니다. $Cov(a,b)=Cov(b,a)$이므로 좌상에서 우하로 그은 대각선을 기준으로 상하 대칭이 됩니다.

$$\left[\begin{array}{ccc}Cov(X_1,X_1)& Cov(X_1,X_2)& Cov(X_1,X_3)\\ Cov(X_2,X_1)& Cov(X_2,X_2)& Cov(X_2,X_3)\\ Cov(X_3,X_1)& Cov(X_3,X_2)& Cov(X_3,X_3)\end{array}\right]$$

한편 $Cov(a,a)=Var(a)$이므로 대각선 상의 값은 분산으로 대체할 수 있습니다.
$$\left[\begin{array}{ccc}Var(X_1)& Cov(X_1,X_2)& Cov(X_1,X_3)\\ Cov(X_2,X_1)& Var(X_2)& Cov(X_2,X_3)\\ Cov(X_3,X_1)& Cov(X_3,X_2)& Var(X_3)\end{array}\right]$$

이렇게 여러 확률 변수들의 분산 그리고 그들 간의 공분산을 표현한 행렬을 분산-공분산 행렬(variance-covariance matrix)라고 합니다.

3개의 확률 변수도 아래와 같이 3x1 행렬로 묶어서 $X$라고 하겠습니다. 행렬 $X$의 행과 열을 바꾼 행렬은 전치(transposed) 행렬 $X^T$라고 합니다. $X$의 1열이 $X^T$에서는 1행이 됩니다.

$$X=\left[\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\\ X_3\end{array}\right]$$

$$X^T=[X_1,X_2,X_3]$$

위의 분산-공분산 행렬은 행렬 $X$와 $X^T$를 이용하여 이렇게 쓸 수 있습니다(주석 (1)). 여기서 $Cov(X)$는 행렬 $X$에 속한 모든 확률 변수들 간의 공분산이 들어 있는 행렬이고, $E(X)$는 행렬 $X$에 속한 모든 확률 변수들의 기대값이 들어 있는 행렬입니다.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& Cov(X)=E(X{X}^T)-E(X)E(X^T)\end{array}$$

그런데 $X_1$, $X_2$, $X_3$가 서로 무관한 독립적인 브라운 운동이라고 합시다. $x_i$는 평균이 0, 분산이 1인 확률 변수로서 브라운 운동에서는 표준 정규 확률 변수를 사용합니다.
$$\begin{array}{rl}{X}_i& =\mathrm{\Delta }{W}_{n,i}(t)=x_i\cdot \sqrt{\mathrm{\Delta }t}(i=1,2,3)\end{array}$$

그러면 분산-공분산 행렬은 이렇게 됩니다(주석(2)). $I$는 대각선 상의 값은 모두 1이고 나머지는 모두 0인 항등 행렬(identity matrix)를 말합니다.
$$\begin{array}{}\text{(2)}& Cov(X)=\mathrm{\Delta }t\cdot I\end{array}$$

그리고 양변을 $\mathrm{\Delta }t$로 나눈 행렬은 상관 계수 행렬이 되는데 이 행렬은 항등 행렬이 됩니다(주석(3)).
$$\begin{array}{}\text{(3)}& Corr(X)=\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}\cdot Cov(X)=I\end{array}$$

춀레스키 분해

이제부터 상관 관계가 있는 두 개의 브라운 운동 $Y_1$과 $Y_2$를 만들어 보도록 하겠습니다. 두 개의 브라운 운동을 행렬로 묶어서 $Y$라고 하겠습니다.
$$Y=\left[\begin{array}{c}{Y}_1\\ Y_2\end{array}\right]$$

$Y_1$과 $Y_2$의 상관 계수가 $\rho$라면 $Y$의 상관 계수 행렬은 이렇게 됩니다.
$$\begin{array}{}\text{(4)}& Corr(Y)=\left[\begin{array}{cc}1& \rho \\ \rho & 1\end{array}\right]\end{array}$$

또 하나의 행렬 $X$를 정의하겠습니다. $X$ 역시 두 개의 브라운 운동 $X_1$과 $X_2$로 이루어져 있지만 $Y$와 다른 점은 서로 독립이라는 것입니다.
$$X=\left[\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\end{array}\right]$$

그리고 $Y$는 $X$와 어떤 상수 행렬 $L$의 곱으로 나타낼 수 있다고 합시다.

$$Y=LX$$

$Y$의 분산-공분산 행렬을 간단히 정리하면 아래와 같이 됩니다.

$$\begin{array}{rlrl}Cov(Y)& =E(Y{Y}^T)-E(Y)E(Y^T)& & \because (1)\\ & =E(Y{Y}^T)& & \because E(Y)=E(Y^T)=O\\ & =E(LX(LX{)}^T)& & \because (LX{)}^T=X^T{L}^T\\ & =E(LX{X}^T{L}^T)\\ & =LE(X{X}^T)L^T\\ & =L\cdot \mathrm{\Delta }t\cdot I\cdot L^T& & \because (2)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \therefore Cov(Y)=\mathrm{\Delta }t\cdot L{L}^T\end{array}$$

그리고 (5)의 양변을 $\mathrm{\Delta }t$로 나누면 이렇게 됩니다.
$$\begin{array}{}\text{(6)}& \frac{1}{\mathrm{\Delta }t}\cdot Cov(Y)=L{L}^T=Corr(Y)\because (3)\end{array}$$

(4)와 (6)이 같아야 하므로 최종적으로 $Y$의 상관 계수 행렬은 $L$과 $L^T$의 곱이 됩니다.
$$Corr(Y)=\left[\begin{array}{cc}1& \rho \\ \rho & 1\end{array}\right]=L{L}^T$$

이제 $L$만 찾으면 $Y$를 구할 수 있는데 그 방법은 춀레스키 분해(Cholesky Decomposition)라고 합니다. 춀레스키 분해는 어떤 행렬을 하삼각행렬(lower triangular matrix)과 그 전치 행렬의 곱으로 분해하는 방법을 말합니다. 아무 행렬이나 이렇게 분해할 수는 없고 특정한 성질을 갖는 행렬만 가능한데 상관 계수 행렬은 분해 가능하다고 합니다. 그리고 어떤 행렬을 촐레스키 분해를 했을 때 $L$은 단 하나만 존재한다고 합니다.

$Y$의 상관 계수 행렬을 춀레스키 분해를 하여 $L$을 구하면 다음과 같습니다(주석(4)). 하삼각행렬이란 대각선 및 그 아래를 제외하고는 모두 값이 0인 행렬을 말합니다.
$$L=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ \rho & \sqrt{1-{\rho }^2}\end{array}\right]$$

마지막으로 상관 관계가 있는 두 개의 브라운 운동 $Y_1$과 $Y_2$는 이렇게 구할 수 있습니다.
$$\begin{array}{rl}Y& =LX\\ & =\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ \rho & \sqrt{1-{\rho }^2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}{X}_1\\ \rho X_1+\sqrt{1-{\rho }^2}{X}_2\end{array}\right]\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\therefore Y_1& =X_1\\ Y_2& =\rho X_1+\sqrt{1-{\rho }^2}{X}_2\end{array}$$

상관 계수가 1이면 $Y_2=X_1$가 되어 $Y_1$과 같아집니다. 반대로 상관 계수가 -1이면 $Y_2=-X_1$이 되어 정반대가 됩니다.

몬테카를로 시뮬레이션

엑셀을 이용하여 시뮬레이션을 해 보았습니다. 상관 계수가 -1이면 예상대로 완전히 반대로 움직이는 흐름이 만들어졌습니다.

상관 계수가 -1일때

상관 계수가 1이면 역시 예상대로 완전히 동일한 흐름이 만들어집니다. 두 그래프가 완전히 겹쳐서 하나가 뒤에 숨어서 잘 안보입니다.

상관 계수가 1일때

상관 계수가 0이면 대중이 없는데 예시적으로 하나를 보여 드리면 이렇습니다.

상관 계수가 0일때

주석

(1) 분산-공분산 행렬

$$\begin{array}{rl}& Cov(X)=\left[\begin{array}{ccc}Var(X_1)& \cdot & \cdot \\ Cov(X_2,X_1)& Var(X_2)& \cdot \\ Cov(X_3,X_1)& Cov(X_3,X_2)& Var(X_3)\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}E(X_1^2)-E(X_1{)}^2& \cdot & \cdot \\ E(X_2{X}_1)-E(X_2)E(X_1)& E(X_2^2)-E(X_2{)}^2& \cdot \\ E(X_3{X}_1)-E(X_3)E(X_1)& E(X_3{X}_2)-E(X_3)E(X_2)& E(X_3^2)-E(X_3{)}^2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}E(X_1^2)& \cdot & \cdot \\ E(X_2{X}_1)& E(X_2^2)& \cdot \\ E(X_3{X}_1)& E(X_3{X}_2)& E(X_3^2)\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}E(X_1{)}^2& \cdot & \cdot \\ E(X_2)E(X_1)& E(X_2{)}^2& \cdot \\ E(X_3)E(X_1)& E(X_3)E(X_2)& E(X_3{)}^2\end{array}\right]\\ & =E\left(\left[\begin{array}{ccc}{X}_1^2& \cdot & \cdot \\ X_2{X}_1& X_2^2& \cdot \\ X_3{X}_1& X_3{X}_2& X_3^2\end{array}\right]\right)-\left[\begin{array}{ccc}E(X_1{)}^2& \cdot & \cdot \\ E(X_2)E(X_1)& E(X_2{)}^2& \cdot \\ E(X_3)E(X_1)& E(X_3)E(X_2)& E(X_3{)}^2\end{array}\right]\\ & =E(X^{T}X)-E(X)E(X^T)\end{array}$$

(2) 브라운 운동의 분산-공분산 행렬

브라운 운동의 분산은 $\mathrm{\Delta }t$이고, 서로 독립인 브라운 운동이라면 공분산은 0입니다.
$$\begin{array}{rl}& Var(X_i)=Var(x_i\cdot \sqrt{\mathrm{\Delta }t})=\mathrm{\Delta }t\cdot Var(x_i)=\mathrm{\Delta }t\\ & Cov(X_i,X_j)=0\end{array}$$

따라서 브라운 운동 행렬의 분산-공분산 행렬은 아래와 같이 간단히 표현할 수 있습니다.
$$\begin{array}{rl}Cov(X)& =\left[\begin{array}{ccc}Var(X_1)& \cdot & \cdot \\ Cov(X_2,X_1)& Var(X_2)& \cdot \\ Cov(X_3,X_1)& Cov(X_3,X_2)& Var(X_3)\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\Delta }t& \cdot & \cdot \\ 0& \mathrm{\Delta }t& \cdot \\ 0& 0& \mathrm{\Delta }t\end{array}\right]\\ & =\mathrm{\Delta }t\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& \cdot & \cdot \\ 0& 1& \cdot \\ 0& 0& 1\end{array}\right]\\ & =\mathrm{\Delta }t\cdot I\end{array}$$

(3) 브라운 운동의 상관 계수 행렬

브라운 운동 행렬의 분산-공분산 행렬을 $\mathrm{\Delta }t$로 나누면 상관 계수 행렬이 되는데 이 행렬은 항등 행렬이 됩니다.

$$\begin{array}{rl}Corr(X)& =I\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}\cdot Cov(X)\\ & =\left[\begin{array}{ccc}\frac{Var(X_1)}{\mathrm{\Delta }t}& \cdot & \cdot \\ \frac{Cov(X_2,X_1)}{\mathrm{\Delta }t}& \frac{Var(X_2)}{\mathrm{\Delta }t}& \cdot \\ \frac{Cov(X_3,X_1)}{\mathrm{\Delta }t}& \frac{Cov(X_3,X_2)}{\mathrm{\Delta }t}& \frac{Var(X_3)}{\mathrm{\Delta }t}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}\frac{Var(X_1)}{\mathrm{\Delta }t}& \cdot & \cdot \\ \frac{Cov(X_2,X_1)}{\sqrt{\mathrm{\Delta }t}\sqrt{\mathrm{\Delta }t}}& \frac{Var(X_2)}{\sqrt{\mathrm{\Delta }t}\sqrt{\mathrm{\Delta }t}}& \cdot \\ \frac{Cov(X_3,X_1)}{\sqrt{\mathrm{\Delta }t}\sqrt{\mathrm{\Delta }t}}& \frac{Cov(X_3,X_2)}{\sqrt{\mathrm{\Delta }t}\sqrt{\mathrm{\Delta }t}}& \frac{Var(X_3)}{\mathrm{\Delta }t}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}1& {\rho }_{12}& {\rho }_{13}\\ {\rho }_{21}& 1& {\rho }_{23}\\ {\rho }_{31}& {\rho }_{32}& 1\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$

(4) 촐레스키 분해

$L$은 하삼각행렬이므로 1행 2열은 0이 되어야 합니다.
$$L=\left[\begin{array}{cc}{L}_{11}& 0\\ L_{21}& L_{22}\end{array}\right],L^T=\left[\begin{array}{cc}{L}_{11}& L_{21}\\ 0& L_{22}\end{array}\right]$$

$$L{L}^T=\left[\begin{array}{cc}{L}_{11}^2& L_{11}{L}_{21}\\ L_{21}{L}_{11}& L_{21}^2+L_{22}^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& \rho \\ \rho & 1\end{array}\right]$$

$L$의 각 원소는 값이 두 개씩 나오는데 부호가 음수인 값은 버립니다. 정확한 이유는 모르겠습니다만 실제로 이 값들을 사용하여 $Y$를 구해 보면 안되는 것은 맞습니다.
$$\begin{array}{rlrl}& L_{11}^2=1& & \therefore L_{11}=\pm 1\\ & L_{11}{L}_{21}=\pm L_{21}=\rho & & \therefore L_{21}=\pm \rho \\ & L_{21}^2+L_{22}^2={\rho }^2+L_{22}^2=1& & \therefore L_{21}=\pm \sqrt{1-{\rho }^2}\end{array}$$

$$\therefore L=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ \rho & \sqrt{1-{\rho }^2}\end{array}\right]$$

참고

• Random Vectors and the Variance–Covariance Matrix
• Correlated Brownian Motions
• Generating correlated random numbers: Why does Cholesky decomposition work?