옵션 가격 모형 #4 - 블랙-숄즈 모형

이번 포스팅은 Binomial option pricing and Black-Scholes(John Thickstun)의 내용도 참고하여 작성하였습니다.

블랙-숄즈 모형

현재 주가가 $S$, 행사 가격이 $K$, 만기가 $t$년 후인 콜 옵션의 가치를 구하는 블랙-숄즈의 공식은 이렇게 생겼습니다. 블랙-숄즈의 공식이 어떻게 나온 것인지는 잘 모르겠지만 그 밑에 있는 이항 모형의 공식과 많이 닮았다는 것은 알 수 있습니다.
$$
C=S\cdot N(d_1)-Ke^{-rt}\cdot N(d_2)
$$

$$
C=S\cdot B(a;nt,\rho)-Ke^{-rt}\cdot B(a;nt,\pi)
$$

여기서 $N(\cdot)$은 표준 정규 분포의 누적 분포 함수(Cumulative Distribution Function)입니다. 누적 분포 함수는 확률 변수가 어떤 값보다 작거나 같은 확률을 알려 주는 함수입니다.

$$\begin{aligned}
N(d_1)&=p(z\leq d_1)\\
N(d_2)&=p(z\leq d_2)
\end{aligned}$$

그리고 $d_1$과 $d_2$의 값은 아래와 같다고 합니다.

$$\begin{aligned}
d_1&=\frac{\ln(S/K)+(r+\sigma^2/2)t}{\sigma\sqrt{t}}\\
d_2&=\frac{\ln(S/K)+(r-\sigma^2/2)t}{\sigma\sqrt{t}}
\end{aligned}$$

$n$을 무한대로 보냈을 때 $N(\cdot)$와 $B(\cdot)$의 값이 같다는 것을 증명하면 이항 모형이 무한의 세계에서는 블랙-숄즈 모형과 같다는 것이 증명됩니다.

$$\begin{aligned}
\lim_{n\rightarrow\infty}B(a;nt,\rho)=N(d_1)\\
\lim_{n\rightarrow\infty}B(a;nt,\pi)=N(d_2)
\end{aligned}$$

일단 드므와브르-라플라스 정리에 따라 $n$이 무한히 커지면 이항 분포는 정규 분포에 수렴하게 됩니다.
$$
j \sim B(nt,p) \xrightarrow{d} j \sim N(ntp,ntp(1-p))
$$

그리고 $j$를 표준화한 확률 변수 $z$는 표준 정규 분포를 따르게 됩니다.
$$
z=\frac{j-ntp}{\sqrt{ntp(1-p)}}
$$

$$
z \sim N(0,1)
$$

따라서 동전을 $nt$번 던졌을 때 앞면이 $a$번 이상 나올 확률은 이렇게 됩니다.
$$\begin{aligned}
B(a;nt,p)&=p(j\geq a)\\
&=p\left(z\geq \frac{a-ntp}{\sqrt{ntp(1-p)}}\right)\\
&=p\left(z\leq \frac{-a+ntp}{\sqrt{ntp(1-p)}}\right)\\
&=N\left(\frac{-a+ntp}{\sqrt{ntp(1-p)}}\right)\\
&=N(d_?)
\end{aligned}$$

괄호 안의 값을 $d_?$라고 하겠습니다. 이제 $p=\rho$일 때 $d_?=d_1$이 되고 $p=\pi$라면 $d_?=d_2$가 되는 것을 증명하면 됩니다.
$$
d_?=\frac{-a+ntp}{\sqrt{ntp(1-p)}}
$$

기하 브라운 운동

증명에 들어 가기 전에 잠시 기하 브라운 운동을 복습해 보겠습니다. 주가가 기하 브라운 운동을 한다면 주식의 (로그) 수익율은 산술 브라운 운동을 합니다. 동전을 던져서 앞면이 나오면 $x_i=1$, 뒷면이 나오면 $x_i=-1$입니다.
$$\ln(S_{i}/S_{i-1})=\mu\cdot\Delta t+\sigma\cdot x_i\cdot\sqrt{\Delta t}
$$

$$\begin{aligned}
E(\ln(S_{i}/S_{i-1}))&=E(\mu\cdot\Delta t+\sigma\cdot x_i\cdot\sqrt{\Delta t})\\
&=\mu\cdot \Delta t+\sigma\cdot\sqrt{\Delta t}\cdot E(x_i)\\
&=\mu\cdot \Delta t\quad\because E(x_i)=0
\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}
Var(\ln(S_{i}/S_{i-1}))&=Var(\mu\cdot\Delta t+\sigma\cdot x_i\cdot\sqrt{\Delta t})\\
&=\sigma^2\cdot\Delta t\cdot Var(x_i)\\
&=\sigma^2\cdot \Delta t\quad\because Var(x_i)=1
\end{aligned}$$

1년에 동전을 $n$번 던지면 $\Delta t=1/n$년입니다. 그리고 $t$년이면 동전을 $nt$번 던지게 됩니다. 그리고 동전 던지기는 모두 서로 독립입니다. 따라서 $t$년이 지났을 때 주식 수익율의 기대값과 분산은 이렇게 됩니다.

$$\begin{aligned}
\ln\left(\frac{S_{nt}}{S}\right)&=\ln\left(\frac{S_1}{S}\cdot\frac{S_2}{S_1}\cdot...\cdot\frac{S_{nt}}{S_{nt-1}}\right)\\
&=\ln\left(\frac{S_{1}}{S}\right)+\ln\left(\frac{S_{2}}{S_1}\right)+...+\ln\left(\frac{S_{nt}}{S_{nt-1}}\right)\\
&=\displaystyle\sum_{i=1}^{nt}(\ln(S_{i}/S_{i-1}))\\
\therefore E\left(\ln\left(\frac{S_{nt}}{S}\right)\right)&=E\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{nt}(\ln(S_{i}/S_{i-1}))\right)\\
&=\displaystyle\sum_{i=1}^{nt}E\left(\ln(S_{i}/S_{i-1}))\right)\\
&=nt\cdot\mu\cdot \Delta t\\
&=\mu t\\
Var\left(\ln\left(\frac{S_{nt}}{S}\right)\right)&=Var\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{nt}(\ln(S_{i}/S_{i-1}))\right)\\
&=\displaystyle\sum_{i=1}^{nt}Var\left(\ln(S_{i}/S_{i-1}))\right)\\
&=nt\cdot\sigma^2\cdot \Delta t\\
&=\sigma^2 t
\end{aligned}$$

한편 로그 수익율이 산술 브라운 운동을 한다면 기대 수익율이 수익율의 기대값 보다 크다는 것을 기억하고 계실 겁니다.

$$
\ln\left(E\left(\frac{S_{nt}}{S}\right)\right)=\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)t > \mu t
$$

이항 모형의 극한

주가의 움직임을 기하 브라운 운동으로 가정한다면 이항 모형의 상승 계수 $u$와 하락 계수 $d$는 이렇게 됩니다. 기하 브라운 운동과 이항 모형이 만나는 지점이 바로 여기입니다.

$$\begin{aligned}
\ln(uS/S)=\ln(u)&=\mu\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}\\
\ln(dS/S)=\ln(d)&=\mu\Delta t-\sigma\sqrt{\Delta t}
\end{aligned}$$

그런데 기하 브라운 운동과는 달리 이항 모형에서는 실제 동전을 던져서 앞면이 나올 확률은 전혀 의미가 없습니다. 이미 살펴 보았듯이 이항 모형 그 어디에서도 실제 확률은 찾을 수 없습니다. 대신에 위험 중립 확률이라는 가상의 확률이 사용됩니다. 동전을 던져서 앞면이 나올 이 가상의 확률을 $p$라고 하면 1-기간 동안 수익율의 기대값은 이렇게 됩니다.

$$\begin{aligned}
E(\ln(S_{i}/S_{i-1}))&=p\cdot(\mu \Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t})+(1-p)(\mu\Delta t-\sigma\sqrt{\Delta t})\\
&=\mu \Delta t+(2p-1)\sigma\sqrt{\Delta t}\\
&=:\mu'\Delta t\\
\\
\therefore p&=\frac{\mu'\Delta t-\mu\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}}{2\sigma\sqrt{\Delta t}}
\end{aligned}$$

그리고 만기가 되었을 때 수익율의 기대값은 이렇게 됩니다(주석 (2)).
$$\begin{aligned}
E\left(\ln\left({S_{nt}}/{S}\right)\right)&=nt\left(p\cdot\ln\left(u/d\right)+\ln(d)\right)\\
&=nt(p\cdot 2\sigma\sqrt{\Delta t}+\mu\Delta t-\sigma\sqrt{\Delta t})\\
&=nt\mu'\Delta t\\
&=\mu't\\
\\
\because \ln(u/d)&=\ln(u)-\ln(d)\\
&=\mu\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}-(\mu\Delta t-\sigma\sqrt{\Delta t})\\
&=2\sigma\sqrt{\Delta t}
\end{aligned}$$

복잡해 보이기는 하지만 1-기간 동안 수익율의 분산은 이렇게 계산됩니다(주석 (2)).
$$\begin{aligned}
Var\left(\ln\left({S_{nt}}/{S}\right)\right)&=ntp(1-p)\cdot\left(\ln\left(u/d\right)\right)^2\\
&=nt\cdot\frac{\mu'\Delta t-\mu\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}}{2\sigma\sqrt{\Delta t}}\cdot\left(1-\frac{\mu'\Delta t-\mu\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}}{2\sigma\sqrt{\Delta t}}\right)\cdot(2\sigma\sqrt{\Delta t})^2\\
&=-nt\cdot((\mu'\Delta t-\mu\Delta t)+\sigma\sqrt{\Delta t})((\mu'\Delta t-\mu\Delta t)-\sigma\sqrt{\Delta t})\\
&=nt\cdot\sigma^2\Delta t-nt\cdot(\mu'-\mu)^2{\Delta t}^2\\
&=\sigma^2t-t\cdot\left(\frac{\mu'-\mu}{\sqrt{n}}\right)^2
\end{aligned}$$

$n$을 무한대로 보내면 분산이 $\sigma^2t$가 됩니다. 기하 브라운 운동일 때와 같아지는 겁니다.

$$
\therefore \lim_{n\rightarrow\infty}Var\left(\ln\left({S_{nt}}/{S}\right)\right)=\sigma^2t
$$

그렇다면 수익율의 기대값도 기하 브라운 운동일 때와 같아야 될 것 같습니다.

$$
\therefore \lim_{n\rightarrow\infty}E\left(\ln\left({S_{nt}}/{S}\right)\right)=\mu t
$$

그런데 이렇게 되려면 $p$가 1/2이 되어야 합니다. 정말 신기하게도 무한대에서는 위험 중립 확률이 실제 확률과 같습니다. 달리 말하자면 무한의 세계에서는 이항 모형이 기하 브라운 운동이 된다는 겁니다.

$$
\therefore \lim_{n\rightarrow\infty}p=\frac{1}{2}
$$

증명 1 단계

$a$를 구해 보면 다음과 같습니다(주석 (1)).
$$
a=\frac{\ln\left(K/S\right)-nt\ln(d)}{\ln\left(u/d\right)}+\zeta
$$

$a$를 $d_?$에 집어 넣고 전개하겠습니다.
$$\begin{aligned}
d_?=\frac{-a+ntp}{\sqrt{ntp(1-p)}}&=\frac{-\frac{\ln\left(K/S\right)-nt\ln(d)}{\ln\left(u/d\right)}+\zeta+ntp}{\sqrt{ntp(1-p)}}\\
&=\frac{\ln\left(S/K\right)+nt\ln(d)+ntp\ln\left(u/d\right)}{\ln\left(u/d\right)\sqrt{ntp(1-p)}}+\frac{\zeta}{\sqrt{ntp(1-p)}}\\
&=\frac{\ln\left(S/K\right)+nt\ln(d)+ntp\ln\left(u/d\right)}{\ln\left(u/d\right)\sqrt{ntp(1-p)}}\quad\because \lim_{n\rightarrow\infty}{\zeta}=0
\end{aligned}$$

이항 모형에서 주식 수익율의 기대값과 분산은 다음과 같습니다(주석 2). 그리고 이 값들이 분모, 분자에 숨어 있었습니다.

$$\begin{aligned}
E\left(\ln\left({S_{nt}}/{S}\right)\right)&=nt\left(p\cdot\ln\left(u/d\right)+\ln(d)\right)\\
Var\left(\ln\left({S_{nt}}/{S}\right)\right)&=ntp(1-p)\cdot\left(\ln\left(u/d\right)\right)^2
\end{aligned}$$

이 값들을 이용하여 마저 정리하면 $d_?$는 일단 이렇게 됩니다.
$$\begin{aligned}
d_?&=\frac{\ln\left(S/K\right)+E\left(\ln\left({S_{nt}}/{S}\right)\right)}{\sqrt{Var\left(\ln\left({S_{nt}}/{S}\right)\right)}}\\
&=\frac{\ln\left(S/K\right)+E\left(\ln\left({S_{nt}}/{S}\right)\right)}{\sigma\sqrt{t}}\quad\because \lim_{n\rightarrow\infty}Var\left(\ln\left({S_{nt}}/{S}\right)\right)=\sigma^2t
\end{aligned}$$

증명 2 단계

먼저 $p=\pi$일 때 정말 $d_?=d_2$가 되는 지 보겠습니다. $\pi$는 위험 중립 확률이라서 1 기간이 지났을 때 기대 수익율은 이렇게 됩니다.
$$
E(S_i)=\pi uS_{i-1}+dS_{i-1}(1-\pi)=S_{i-1}e^{r\Delta t}
$$

$$
E(S_i)/S_{i-1}=E(S_i/S_{i-1})=e^{r\Delta t}
$$

$$
\therefore \ln(E(S_i/S_{i-1}))=r\Delta t
$$

그래서 $t$년이 지나고 나서 주식의 기대 수익율은 이렇게 됩니다.

$$\begin{aligned}
\ln(E(S_{nt}/S))&=\ln\left(E\left(\frac{S_1}{S}\cdot\frac{S_2}{S_1}\cdot...\cdot\frac{S_{nt}}{S_{nt-1}}\right)\right)\\
&=\ln\left( E\left(\frac{S_1}{S}\right)\cdot E\left(\frac{S_2}{S_1}\right) \cdot...\cdot E\left(\frac{S_{nt}}{S_{nt-1}}\right) \right)\\
&=\displaystyle\sum_{i=0}^{nt}\ln\left( E\left(\frac{S_i}{S_{i-1}}\right)\right)\\
&=nt\cdot r\Delta t\\
&=rt
\end{aligned}$$

그런데 무한의 세계에서는 이항 모형이 기하 브라운 운동이 된다고 했으니 기대 수익율도 같아야 될 겁니다.

$$\begin{aligned}
\lim_{n\rightarrow\infty}\ln(E(S_{nt}/S))&=\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)t\\
&=\mu t+\frac{\sigma^2}{2}t\\
&=E\left(\ln\left({S_{nt}}/{S}\right)\right)+\frac{\sigma^2}{2}t\quad\because \lim_{n\rightarrow\infty}E\left(\ln\left({S_{nt}}/{S}\right)\right)=\mu t
\\
&=rt\\
\therefore E\left(\ln\left({S_{nt}}/{S}\right)\right)&=\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)t
\end{aligned}$$

따라서 $p=\pi$일 때 $d_?=d_2$가 됩니다.
$$\begin{aligned}
d_?&=\frac{\ln\left(S/K\right)+E\left(\ln\left({S_{nt}}/{S}\right)\right)}{\sigma\sqrt{t}}\\
&=\frac{\ln\left(S/K\right)+(r-\sigma^2/2)t}{\sigma\sqrt{t}}=d_2
\end{aligned}$$

증명 3 단계

이제 $p=\rho$일 때 정말 $d_?=d_1$가 되는 지 보겠습니다. $\rho$의 정의를 잘 보면 1 기간 후의 기대 주가가 주어졌을 때 시간을 거꾸로 돌려서 현재 주가를 구하는 확률이라는 것을 알 수 있습니다. 시간을 거꾸로 돌리니까 상승 계수와 하락 계수는 역수가 되어 각각 $1/u$, $1/d$이 됩니다.

$$\begin{aligned}
S_{i-1}&=\rho S_{i-1}+(1-\rho)S_{i-1}\\
&=\rho \cdot \frac{1}{u} \cdot uS_{i-1}+(1-\rho) \cdot \frac{1}{d} \cdot dS_{i-1}\\
&=\rho \cdot \frac{1}{u} \cdot E(S_{i})+(1-\rho) \cdot \frac{1}{d} \cdot E(S_{i})\\
&=\frac{\pi\cdot u\cdot e^{-r\Delta t}}{u} \cdot E(S_{i})+\frac{(1-\pi)\cdot d\cdot e^{-r\Delta t}}{d} \cdot E(S_{i})\\
&=E(S_{i})\cdot e^{-r\Delta t}
\end{aligned}$$

$$
S_{i-1}/E(S_i)=E(S_{i-1}/S_i)=e^{-r\Delta t}
$$

$$
\therefore \ln(E(S_{i-1}/S_i))=-r\Delta t
$$

그리고 $t$년을 거꾸로 돌려 보면 수익율은 이렇게 됩니다.
$$
\ln(E(S/S_{nt}))=-rt
$$

한편 시간을 거꾸로 돌리면 로그 수익율은 이렇게 산술 브라운 운동을 하게 됩니다.
$$\begin{aligned}
\ln(S/uS)=\ln(1/u)&=-\mu\Delta t-\sigma\sqrt{\Delta t}\\
\ln(S/dS)=\ln(1/d)&=-\mu\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}\\
\end{aligned}$$

$n$을 무한대로 보내면 이항 모형은 역시 아래와 같이 기하 브라운 운동을 하게 될 겁니다.

$$\begin{aligned}
&\lim_{n\rightarrow\infty}Var\left(\ln\left({S}/{S_{nt}}\right)\right)=\sigma^2t\\
&\lim_{n\rightarrow\infty}E\left(\ln\left({S}/{S_{nt}}\right)\right)=-\mu t\\
&\lim_{n\rightarrow\infty}\ln(E(S/S_{nt}))=\left(-\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)t\\
\end{aligned}$$

마찬가지로 시간을 거꾸로 돌려도 기대 수익율은 기하 브라운 운동일 때와 같아야 될 겁니다.
$$\begin{aligned}
\lim_{n\rightarrow\infty}\ln(E(S/S_{nt}))&=\left(-\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)t\\
&=-\mu t+\frac{\sigma^2}{2}t\\
&=E\left(\ln\left({S}/{S_{nt}}\right)\right)+\frac{\sigma^2}{2}t\quad\because \lim_{n\rightarrow\infty}E\left(\ln\left({S}/{S_{nt}}\right)\right)=-\mu t
\\
&=-rt\\
\therefore E\left(\ln\left({S}/{S_{nt}}\right)\right)&=\left(-r-\frac{\sigma^2}{2}\right)t\\
&=-E\left(\ln\left({S_{nt}}/{S}\right)\right)
\end{aligned}$$

따라서 $p=\rho$일 때 $d_?=d_1$가 됩니다.
$$\begin{aligned}
d_?&=\frac{\ln\left(S/K\right)+E\left(\ln\left({S_{nt}}/{S}\right)\right)}{\sigma\sqrt{t}}\\
&=\frac{\ln\left(S/K\right)+(r+\sigma^2/2)t}{\sigma\sqrt{t}}=d_1
\end{aligned}$$

주석

(1) 앞면이 적어도 나와야 할 회수

만기에 옵션이 가치를 가지려면 만기 주가가 행사 가격 보다는 높아야 합니다.
$$\begin{aligned}
u^ad^{nt-a}S&>K\\
\ln(u^ad^{nt-a}S)&>\ln(K)\\
a\ln(u)+(nt-a)\ln(d)+\ln(S) &> \ln(K)\\
a(\ln(u)-\ln(d)) &> \ln(K)-\ln(S)-nt\ln(d)\\
\therefore a &> \frac{\ln\left(K/S\right)-nt\ln(d)}{\ln\left(u/d\right)}
\end{aligned}$$

$a$는 정수이기 때문에 이렇게 쓸 수 있습니다. $\zeta$는 제타라고 읽습니다.
$$
a=\frac{\ln\left(K/S\right)-nt\ln(d)}{\ln\left(u/d\right)}+\zeta,\quad 0\leq\zeta < 1
$$

$n$이 무한대로 가면 $S$가 가질 수 있는 경우의 수도 무한이 됩니다. 따라서 그중에 하나는 행사 가격 $K$가 됩니다. 따라서 $n$이 무한대로 가면 $\zeta$는 0으로 수렴합니다.

(2) 주식 수익율의 기대값과 분산

이항 모형에서 콜 옵션의 만기가 되었을 때 주식의 로그 수익율은 이렇게 됩니다.

$$\begin{aligned}
\ln\left({S_{nt}}/{S}\right)&=\ln\left(\frac{u^jd^{nt-j}S}{S}\right)\\
&=j\ln(u)+(nt-j)\ln(d)\\
&=j\ln\left(u/d\right)+nt\ln(d)
\end{aligned}$$

그리고 기대값과 분산은 다음과 같습니다.
$$\begin{aligned}
E\left(\ln\left({S_{nt}}/{S}\right)\right)&=E\left(j\ln\left(u/d\right)+nt\ln(d)\right)\\
&=E(j)\cdot\ln\left(u/d\right)+nt\ln(d)\\
&=ntp\cdot\ln\left(u/d\right)+nt\ln(d)\\
&=nt\left(p\cdot\ln\left(u/d\right)+\ln(d)\right)
\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}
Var\left(\ln\left({S_{nt}}/{S}\right)\right)&=Var\left(j\ln\left(u/d\right)+nt\ln(d)\right)\\
&=Var(j)\cdot\left(\ln\left(u/d\right)\right)^2\\
&=ntp(1-p)\cdot\left(\ln\left(u/d\right)\right)^2
\end{aligned}$$