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옵션 가격 모형 #3 - 다 기간 이항 모형

horust 2025. 2. 27. 19:37

2-기간 이항 모형

2-기간 모형은 1-기간 모형의 확장입니다. 아래 그림을 보면 바로 느낌이 올 겁니다. 2-기간 모형은 3개의 1-기간 모형으로 이루어져 있습니다.

2 기간 이항 모형

2-기간이 지나 만기가 되었을 때 콜 옵션 가치는 아래와 같습니다.

Cuu=max(0,u2SK)Cud=max(0,udSK)Cdd=max(0,d2SK)

Cuu, Cud, Cdd를 구했으면 1-기간 모형을 사용하여 CuCd를 구할 수 있습니다.

(1)Cu=er(πCuu+(1π)Cud)

(2)Cd=er(πCud+(1π)Cdd)

CuCd를 구했으면 C도 구할 수 있습니다.
(3)C=er(πCu+(1π)Cd)

(1)과 (2)를 (3)에 집어 넣고 정리하여 봅시다. 동전을 던져서 앞면이 나온 회수를 j라고 하면 아래와 같이 정리할 수 있습니다.
C=er(πer(πCuu+(1π)Cud)+(1π)er(πCud+(1π)Cdd))=e2r(π2Cuu+2π(1π)Cud+(1π)2Cdd)=e2rj=022Cjπj(1π)2jmax(0,ujd2jSK)

1-기간 모형일 때와 마찬가지로 콜 옵션의 가격은 콜 옵션 만기 가치의 기대값을 무위험 이자율로 할인한 가치가 됩니다. 여기서 기대값은 위험 중립 확률로 계산한 위험 중립 기대값입니다.

n-기간 모형

기간을 계속 늘려 봅시다. n-기간이 되면 만기 시점의 콜 옵션 가격은 아래와 같이 일반화할 수 있습니다.
C=enrj=0nnCjπj(1π)njmax(0,ujdnjSK)

동전의 앞면이 나온 회수가 많을수록 만기 시점의 주가는 올라갑니다. 앞면이 나온 회수가 적어도 어떤 회수 이상이 되어야 만기 시점의 주가가 행사 가격보다 높아질 겁니다. 이 회수를 a라고 하겠습니다.

max(0,ujdnjSK)={0j<aujdnjSKja

j<a이면 만기 시점의 콜 옵션 가치가 없으니까 콜 옵션의 가격은 ja와 같거나 큰 경우만 고려하면 됩니다. 이를 이용하면 일단 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

C=enrj=0nnCjπj(1π)njmax(0,ujdnjSK)=enrj=annCjπj(1π)nj(ujdnjSK)=enr(j=annCjπj(1π)njujdnjSj=annCjπj(1π)njK)=enr(j=annCj(πu)j(d(1π))njSj=annCjπj(1π)njK)

그런데 πud(1π)는 더하면 er이 됩니다. 그리고 양변을 er로 나누면 우변이 1이 됩니다.

πu+d(1π)=erdudu+uerudd=er

πuer+d(1π)er=1

더해서 1이 된다는 점에서 이것도 일종의 확률입니다. 각각 ρ, (1ρ)라고 합시다. ρ는 로라고 읽습니다.
πuer=ρπu=ρerd(1π)er=1ρd(1π)=(1ρ)er

이 확률을 이용하여 마저 정리하면 이렇게 됩니다.

C=enr(j=annCj(ρer)j((1ρ)er)njSj=annCjπj(1π)njK)=enr(j=annCjρj(1ρ)njenrSj=annCjπj(1π)njK)=Sj=annCjρj(1ρ)njKenrj=annCjπj(1π)nj

정리가 다 끝났지만 너무 긴 느낌입니다. 조금만 더 정리해 보겠습니다. 확률 변수 x가 이항 분포를 따를 때 xa보다 크거나 같을 확률은 이렇게 됩니다.
jB(n,p)

p(ja)=j=annCjpj(1p)nj

이 확률을 아래와 같은 기호로 표현하겠습니다.
B(a;n,p):=p(ja)

그러면 콜 옵션의 가격은 최종적으로는 이런 공식이 됩니다. 여기서 B(a;n,ρ)B(a;n,π)나 모두 동전을 던져서 앞면이 a번 이상 나올 확률입니다. 다만, 앞면이 나올 확률이 1/2은 아닌 동전인 셈이죠. 그리고 이 확률은 만기에 주가가 행사 가격보다 높을 확률이자 옵션이 행사될 확률입니다. 주목할 것은 콜 옵션의 가격을 알기 위해서 만기 시점의 주가를 알 필요가 없다는 점입니다.
C=SB(a;n,ρ)KenrB(a;n,π)

만약 1년에 동전을 n번 던진다면 nr은 1년 무위험 이자율입니다. nr=rf라고 하겠습니다. 그리고 만기가 t년 후라면 동전을 nt번 던지게 되므로 콜 옵션의 만기는 nt 기간 후가 됩니다. 따라서 만기가 t년 후인 콜 옵션의 가격은 이렇게 됩니다.

C=SB(a;nt,ρ)KentrfnB(a;nt,π)r=rfn=SB(a;nt,ρ)KerftB(a;nt,π)

이제부터 1년 무위험 이자율 rfr이라고 하겠습니다. 그러면 최종적으로 콜 옵션 가격 공식은 이렇게 됩니다.
C=SB(a;nt,ρ)KertB(a;nt,π)