2-기간 모형은 1-기간 모형의 확장입니다. 아래 그림을 보면 바로 느낌이 올 겁니다. 2-기간 모형은 3개의 1-기간 모형으로 이루어져 있습니다.
2 기간 이항 모형
2-기간이 지나 만기가 되었을 때 콜 옵션 가치는 아래와 같습니다.
, , 를 구했으면 1-기간 모형을 사용하여 와 를 구할 수 있습니다.
와 를 구했으면 도 구할 수 있습니다.
(1)과 (2)를 (3)에 집어 넣고 정리하여 봅시다. 동전을 던져서 앞면이 나온 회수를 라고 하면 아래와 같이 정리할 수 있습니다.
1-기간 모형일 때와 마찬가지로 콜 옵션의 가격은 콜 옵션 만기 가치의 기대값을 무위험 이자율로 할인한 가치가 됩니다. 여기서 기대값은 위험 중립 확률로 계산한 위험 중립 기대값입니다.
-기간 모형
기간을 계속 늘려 봅시다. -기간이 되면 만기 시점의 콜 옵션 가격은 아래와 같이 일반화할 수 있습니다.
동전의 앞면이 나온 회수가 많을수록 만기 시점의 주가는 올라갑니다. 앞면이 나온 회수가 적어도 어떤 회수 이상이 되어야 만기 시점의 주가가 행사 가격보다 높아질 겁니다. 이 회수를 라고 하겠습니다.
이면 만기 시점의 콜 옵션 가치가 없으니까 콜 옵션의 가격은 가 와 같거나 큰 경우만 고려하면 됩니다. 이를 이용하면 일단 아래와 같이 정리할 수 있습니다.
그런데 와 는 더하면 이 됩니다. 그리고 양변을 로 나누면 우변이 1이 됩니다.
더해서 1이 된다는 점에서 이것도 일종의 확률입니다. 각각 , 라고 합시다. 는 로라고 읽습니다.
이 확률을 이용하여 마저 정리하면 이렇게 됩니다.
정리가 다 끝났지만 너무 긴 느낌입니다. 조금만 더 정리해 보겠습니다. 확률 변수 가 이항 분포를 따를 때 가 보다 크거나 같을 확률은 이렇게 됩니다.
이 확률을 아래와 같은 기호로 표현하겠습니다.
그러면 콜 옵션의 가격은 최종적으로는 이런 공식이 됩니다. 여기서 나 나 모두 동전을 던져서 앞면이 번 이상 나올 확률입니다. 다만, 앞면이 나올 확률이 1/2은 아닌 동전인 셈이죠. 그리고 이 확률은 만기에 주가가 행사 가격보다 높을 확률이자 옵션이 행사될 확률입니다. 주목할 것은 콜 옵션의 가격을 알기 위해서 만기 시점의 주가를 알 필요가 없다는 점입니다.
만약 1년에 동전을 번 던진다면 은 1년 무위험 이자율입니다. 라고 하겠습니다. 그리고 만기가 년 후라면 동전을 번 던지게 되므로 콜 옵션의 만기는 기간 후가 됩니다. 따라서 만기가 년 후인 콜 옵션의 가격은 이렇게 됩니다.
이제부터 1년 무위험 이자율 를 이라고 하겠습니다. 그러면 최종적으로 콜 옵션 가격 공식은 이렇게 됩니다.